В.Н.КАТАСОНОВ

 

БЕСКОНЕЧНОЕ

 

Бесконечное - философское и богословское понятие, обозначающее безграничность и беспредельность как в бытийственном, так и в познавательном смысле. Вопрос о бесконечности возникает на всем протяжении истории культуры в самых разнообразных формах. Одна из самых непосредственных - проблема бесконечности (или  конечности) мирового пространства, времени, количества вещей в мире. Сюда же относится и вопрос о возможности бесконечного деления континуума, выделении в нем точек. Наконец, более изощренной логической техники требует  обсуждение вопроса о существовании разных “типов” бесконечного. Вопрос  о логической и онтологической природе бесконечности, о ее статусе в Боге и в тварном мире получал разные решения и обоснования в философии, теологии и истории науки.

Актуальная и потенциальная бесконечность. В чисто морфологическом смысле  русское слово “бесконечное” имеет смысл отрицания: бес - конечное есть не конечное (аналогично и латинское infinitum). Но это отрицание можно брать двояко: или как частичное отрицание - то, что может превзойти любое конечное, - или как полное отрицание - то, что актуально превосходит любое конечное. Уже в схоластике XIII - XIV веков (Вильям Шервуд, Вильям Хейтесбери) это различие осознается и обозначается (синкатегорематическая и категорематическая бесконечности, соответственно). Из схоластики же (Григорий из Римини) идет и другое наименование этих двух разных подходов к бесконечному: потенциальная и актуальная бесконечности.

Бесконечное в истории философии и богословия.  Античная мысль, в основном, рассматривает бесконечное как неоформленное, как неставшее и, следовательно, несовершенное.  В пифагорейском списке противоположностей  бесконечное стоит на стороне дурного (злого). Бытие в античной мысли тесно связано с категорией меры и предела. Бесконечное в этом смысле выступает как бес- предельное, без - граничное, почти не существующее - mh on Бесконечное есть нечто близкое к хаосу, а иногда и отождествляется с ним. Бесконечное сближается у Платона и Аристотеля с категорией материи как бесформенным и, в силу этого как бы несуществующим, постигаемым лишь “незаконнорожденным умозаключением” под - лежащим субстратом вещей. Бытие вещи доставляется идеей (или формой), которая о - граничивает бесконечное, осуществляя  “вписывание” вещи в упорядоченное единство Космоса.

       В то же время, в античной философии имеются мыслители, которые более позитивно используют категорию бесконечного.  Прежде всего к ним относится Анаксимандр, у которого главным началом космологии служит апейрон (греч. apeiron - букв. без - граничное), из которого возникают и в который возвращаются все вещи. Кроме того, здесь нужно назвать атомистов Левкиппа и Демокрита, у которых бесконечное пустое пространство содержит бесконечное количество атомов, образующих бесконечное количество миров.  Однако, господствующее отношение к бесконечности в античности все же иное. В окончательном виде оно было выражено Аристотелем. Для Аристотеля бесконечность существует только потенциально как возможность безграничного изменения. Не существует актуально бесконечного тела (конечен сам космос), не существует бесконечной последовательности причин ( т. к. в противном случае, по Аристотелю, отсутствовала бы первоначальная истинная причина движения) . Актуально  бесконечное не дано ни чувствам, ни уму.  Потенциальная бесконечность реализуется у Аристотеля для чисел в направлении возрастания - натуральный ряд, а для величин - в направлении убывания : потенциально бесконечное деление данного отрезка. Непосредственно зависящая от этого круга идей античная математика  всегда мыслит свои “прямые” и “плоскости” как конечные, хотя и произвольно большие отрезки или куски плоскостей, ( в отличие от новоевропейской математики, в которой уже с XVII века начинают рассматривать бесконечные прямые, например, в проективной геометрии).

           В неоплатонизма постепенно, не без существенного  влияния восточной мистики, пробивает себе дорогу новое положительное понимание бесконечного. Переходной ступенью служили здесь философские взгляды Филона Александрийского, давшего эллинистическую транскрипцию библейского понимания Божества.

          Существенный перелом в отношении бесконечного происходит с утверждением в европейской культуре  христианства. Актуальная бесконечность - существенная характеристика христианского Бога: бесконечно могущественный, бесконечно мудрый и бесконечно благой. С приходом христианства для европейской мысли появляется бесконечный “предмет”, о котором можно размышлять и спекулировать. Однако, это “освоение Бога мыслью” должно иметь свои границы. В ссответствии спониманием святых отцов, христианский Бог - Троица непостижим в своей сущности, но познается в откровении в своих энергиях. В Православии, в особенности, сохраняется строгое деление богословия на катафатическое ( от греч. katafatikoj - утвердительный) - положительное познание Бога (Бог - Любовь, Жизнь, Блаженство и т.д.), познание имен Божиих, данных нам в откровении, и апофатическое ( от греч. apofatikoj - отрицательный), подчеркивающее, что Бог не есть ничто из мира: Бог выше любви, жизни, выше даже самого бытия, будучи источником всего этого... Апофатическое познание “погашает” имена, как лишь иконы Божества, приглашая подвижника к прямому касанию Бога, к единению с Богом в мистическом экстазе, к обожению... Из опыта экзистенциального, мистического “вхождения в Бога” и возникло само апофатическое богословие.

            К понятию бесконечного, являющемуся для мысли, также, как - бы иконой Божества, тоже можно применить разделение на апофатическое и катафатическое познание. Традиционное античное отношение к бесконечности - апофатично (хотя здесь этот термин используется еще не в собственном смысле, поскольку для большинства античных мыслителей бесконечное просто не существует). В средневековой же христианской культуре это разделение уже используется  по существу: или мы признаем познаваемость бесконечного (катафатика), или же признаем только, что бесконечное существует, но остается, однако, непостижимым для наших дискурсивных методов мышления (апофатика). Это разделение ясно чувствуется во всей истории попыток “приручения” бесконечного в христианскую эпоху.

          Не только христианский Бог в себе оказывается актуально бесконечным, но и творение, и в особенности человек как “образ Божий” несет на себе ( в различной мере) отпечаток совершенств Творца.  Однако это понимание утверждается не сразу. У Оригена еще налицо сильнейшая зависимость от основных постулатов греческой мысли:  даже Бог не сможет быть бесконечным, так как бесконечное не имеет формы и не мыслимо. Высшее совершенство Бога и его конечность необходимо связаны, по Оригену. Но уже Августин задает вопрос: неужели Бог не может мыслить всех чисел ( натуральный ряд) разом? Конечность Бога несовместима, по Августину, с божественным достоинством. В отношении же тварного мира сдвиг происходит еще позднее. У Альберта Великого и Фомы Аквината еще полностью господствуют аристотелевские запреты: в мире не может существовать актуальная бесконечность. Даже точки континуума существуют в нем только потенциально.  “Легализация” актуальной бесконечности в тварном мире исторически была тесно связана с обсуждением природы человеческой души. Последняя сотворена, согласно христианской теологии, “по образу Божьему”. В какой степени божественные совершенства отразились в человеческой душе ? Уже Дунс Скот  настаивал, что человеческая душа по своей природе превосходит ту конечность,  которая  характерна для всего тварного: ведь человеческая душа способна воспринимать божественную благодать, то есть самого бесконечного Бога.  Значит, ей дарована некоторая, адекватная предмету восприятия, бесконечная воспринимающая способность. Еще дальше идут мистики. Экхарт прямо учит о том, что в глубине человеческой души имеется  нетварная  божественная “искорка”. Как соприродная Богу, эта  “искорка”, естественно, актуально бесконечна.  Подобное понимание образа Божьего прокладывало дорогу пантеизму и не раз осуждалось католической церковью.  Кардинал Николай Кузанский развивает свое учение о совпадении абсолютного максимума и абсолютного минимума.  В рамках этого учения бесконечное,  абсолютный максимум  становится “адекватной мерой” всех конечных вещей. Аналогично  и в рамках  пантеизма Спинозы оказывается, что omnis determinatio est negatio ( каждое определение есть отрицание): не через предел, не через ограничение бесформенной материи получают вещи свое бытие, а именно от подлежащей бесконечной божественной субстанции, внутри которой самоопределение выступает как частичная негация.

       Спекулятивная теология Николая Кузанского служит также основанием представлений и о бесконечности вселенной. Бог является “основанием” мира: то, что содержится в Боге “в свернутом виде”, мир “разворачивает” в пространстве и времени. Пространственная протяженность мира и время его существования не могут быть конечными, потому что они “выражают” бесконечность Бога.  Хотя мир не является бесконечным в том же смысле,  как и Бог, - мир не есть все, что может быть, - тем не менее, его привативная  бесконечность ( не Infinitum, а  Indeterminatum) включает в себя бесконечность пространства и времени. Пересмотр Коперником геоцентрической системы и полемический талант Бруно помогают этому тезису Кузанца стать в высшей степени популярным  к XVIII столетию.

         В целом, в понимании бесконечного западной богословской традиции не удается пройти между Сциллой аристотелевского финитизма и Харибдой “энтузиазма” мистиков: бесконечное или всегда лишь только по ту сторону человеческого разума, или самонадеянно объявляется “достигнутым” в восторгах пантеистической мистики. В полемике Свт. Григория Паламы о Фаворском свете выступает и православная интуиция восприятия бесконечных божественных нетварных энергий: это восприятие не дается обыденному человеческому сознанию, для него необходимо преображение ума божественной благодатью, обожение: боговидцы видят Бога Духом Божиим (См.: Св.Григорий Палама. Триады в защиту священнобезмолствующих. М., 1995. С.75-76).

      Декарт также поддерживал идею беспредельности мира: хотя и “недопустимо рассуждать о бесконечном, но следует просто считать беспредельными вещи, у которых мы не усматриваем никаких границ, - такова протяженность мира, делимость частей материи, число звезд и т.д.” (“Первоначала философии”, ч. I). Кроме того, по Декарту, бесконечна человеческая воля, являющаяся существенным признаком “образа Божьего” в человеческом существе.  Именно несоответствие конечности человеческого разума и бесконечности воли служит, по Декарту, причиной ложных суждений.

              На фоне других философов XVII столетия Лейбниц выступает как наиболее убежденный защитник существования актуальной бесконечности. Тема бесконечности обсуждалась Лейбницем в разных аспектах. Актуально бесконечно, прежде всего,  количество субстанций - монад - в Универсуме. Каждая часть материи представляет собой также актуально бесконечную совокупность монад. Устойчивость агрегатов этих монад связана с особыми принципами их подчинения и с  законом предустановленной гармонии. “Всякую часть материи можно представить наподобие сада, полного растений, и пруда, полного рыб.  Но  каждая ветвь растения, каждый член животного, каждая капля его соков есть опять такой же сад или такой же пруд” (“Монадология”, N67) . В свою очередь, каждая монада представляет в  своих восприятиях  весь бесконечный универсум, бесконечный как в пространстве, так и во времени. Это понимание ведет Лейбница в психологии к формулировке концепции бесконечно - малых (“подсознательных”) восприятий. В математике же это приводит к особому пониманию стуктуры пространственного континуума и, наконец, к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Лейбницевские идеи в отношении актуальной бесконечности остаются в высшей степени действенными и, по существу, непревзойденными все последующие три столетия.

         Взгляды Канта в отношении бесконечности двойственны, отражая двойственность его философии в целом. В “Критике чистого разума” в силу самой кантовской философии математики оказываются невозможны ни бесконечное число, ни бесконечная величина. Мир же в отношении своих пространственных и временных характеристик  выступает ни как конечный, ни как бесконечный, а как indefinitum - неопределенный. В кантовской же философии морали актуальная бесконечность находит себе определенное место, по своему отражая общую традицию европейской христианской философии, видящей в человеческой душе образ Божий. Практический разум при стремлении к высшему благу приходит к необходимости постулирования бессмертия души, существования Бога и свободы, которые оказываются актуально бесконечными. У Фихте, по своему разрабатывавшего идею Экхарта о причастности человеческого духа к божественной сущности,  вся природа выступает уже как бледное отражение истинной бесконечности, заключенной в абсолютном “Я”. У Гегеля конечное и бесконечное являются лишь двумя терминами в его диалектической триаде. Простое отрицание конечного дает лишь “дурную бесконечность”: никогда не завершающийся переход от одного конечного к другому и представлет собой лишь “долженствование бесконечного”. Истинная бесконечность должна диалектически снять оба соотнесенных момента. Истинная бесконечность необходимо должна быть некоторым становлением, которое одновременно есть и самораскрытие. Истинно бесконечен у Гегеля, собственно, Абсолютный дух,  который одновременно и актуально бесконечен и осуществляет свое развитие через мир конечных духов.

            В 1851 году вышла работа Б.Больцано “Парадоксы бесконечного”, в которой делается попытка опровергнуть традиционные возражения против актуально бесконечного. в ней также обсуждались понятия, ставшие в дальнейшем главными и для Кантора: различение потенциальной и актуальной бесконечности, трансфинитного и абсолютного и ряд других.

             В XX столетии философские дискуссии вокруг проблем бесконечного соотносятся, обычно, тем или иным образом, с теорией множеств и проблемой оснований математики. Таковы, например, феноменологический подход к проблемам теории множеств у О.Беккера (Becker O. Mathematische Existenz. - Halle, 1927); интерпретация проблем теории множеств как выражения классического конфликта между аристотелевским концептуализмом и платонистской традицией в математике у Л.Брюнсвика (Brunschvicg L. Les etapes de la philosophie mathematique. - Paris: 1922); рассмотрение канторовской иерархии бесконечного на фоне концепции всеединства у Б.П.Вышеславцева (Вышеславцев Б.П. Этика преображенного эроса. - М.: Республика, 1994).

Бесконечное в математике и логике. Понятие актуально - бесконечного эффективно применяется в математике, начиная с изобретения дифференциального и интегрального исчислений в XVII столетии. Однако убедительного обоснования этого использования бесконечного ищут почти три века: есть алгоритм, но нет понимания. Особая фаза начинается с середины XIX века. Здесь большую роль играют труды  К.Вейерштрасса, Р.Дедекинда и, в особенности, Г.Кантора. В их работах было систематизировано употребление понятия бесконечного в европейской математической традиции, выделены его основные аспекты и была предложена (Кантором) беспрецедентно дерзкая конструкция “шкалы бесконечностей”, ведущая от самых простых типов бесконечного до “бесконечного в Боге”. Кантор построил определенный аналог для понятия количества в случае бесконечных множеств (кардинальные числа). Одновременно им была развита и теория трансфинитных ординальных чисел: обобщение понятия порядкового числа на бесконечные совокупности. Построенная арифметика кардиналов (и ординалов) обладала довольно парадоксальными свойствами (например: 2 • a₀ =  a₀, где a₀ - кардинал, соответсвующий множеству натуральных чисел), некоторые из которых, впрочем, были символическим выражением давно известных парадоксальных свойств актуально бесконечных множеств (например, что четных и нечетных чисел во множестве всех натуральных “одинаковое количество”).

           Однако, в теории множеств уже с 90-х годов XIX века возникли и принципиально новые апории, которые не были разрешены  в течении всего XX столетия. Одна из них, парадокс Бурали - Форти, показывает что, хотя и можно определить сколь угодно большой ординал b, однако рассмотреть всю шкалу ординалов W, как  единое множество, невозможно: оно оказывается противоречивым. Тем самым, одна из главных интенций Кантора, - иметь возможность рассмотреть любой потенциальный процесс как законченный,  - потерпела крушение. Как пишет один из математиков XX столетия П. Вопенка : “Теория множеств, усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалась неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить ее в более высокую сферу” (Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. Новое в зарубежной науке. Математика. 1983,  N 31, С. 124). Парадокс Рассела показывал противоречивость понятия множества всех множеств, не являющихся элементами самого себя. Это привело к выделению предикативных и непредикативных свойств множеств и построению так называемой теории типов, которую Б.Рассел развивал совместно с Н.Уайтхедом. Парадоксы теории множеств сказывались и, так сказать, на “макроуровне”: в парадоксе Банаха - Тарского утверждается, что используя систему аксиом теории множеств Цермело - Френкеля можно разбить шар на конечное число частей, которые можно переставить так, что получится два шара, такого же размера, что и исходный.

      Теория множеств оказалась естественным языком для решения стоявшей веками задачи арифметизации континуума. Во второй половине XIX века   было предложено несколько арифметических конструкций действительных чисел ( К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд, Г. Кантор) Мощность получающихся числовых моделей континуума оказывалась равна  2^{a 0} . Кантор предположил, что

                                               2^{a 0} = a₁

где  a₁ - наименьшая из мощностей, больших  a₀ - мощности множества натуральных чисел: {1,2,3,...}. Это утверждение и называется  континуум - гипотезой.   Но несмотря на пламенную веру Кантора в истинность этого результата, ни ему, ни последующим математикам не удалось доказать этого факта.  Более того. В 1963 году  П.Коэн доказал, что континуум - гипотеза не зависима от системы аксиом  теории множеств Цермело - Френкеля.  Другими словами, континуум - гипотеза не может быть ни доказана, ни  опровергнута в теории, опирающейся на эту систему аксиом. Философский смысл этих результатов в том, что если мощность континуума равна какому - то “алефу”, (не обязательно  a₀ , другими словами, рассматривается обобщенная континуум - гипотеза), то тогда континуум, так сказать,  “конструируется из точек”. Однако, доказать это оказалось невозможным.

Особенности мировоззрения и личная религиозность Кантора. Г.Кантор происходил из семьи предприимчиваго торговца и был крещен в лютеранской церкви. Мать его была католичкой. Сам же создатель теории множеств считал себя христианином, не принадлежащим ни к какой конкретной церкви. Кантор понимал построение и утверждение в науке теории множеств делом, порученным ему Самим Богом. Он пытался дать и “богословские применения” своим конструкциям с актуальной бесконечностью (Кантор вообще считал теорию множеств относящейся столько же к метафизике, сколько и к математике). Кантор различал три типа бесконечного: бесконечное в Боге (“в уме Бога”) - Абсолютное, в тварном мире - Трансфинитное, в уме человека - трансфинитные числа (ординалы). Несмотря на то, что в канторовской философии математики критерием научности служила лишь логическая непротиворечивость, для оправдания теории множеств Кантор в высшей степени нуждался в доказательствах  существования Трансфинитного (бесконечного в мире). Это служило бы не только опровержению аристотелевской догмы, но и явилось бы опорой для его программы развертывания новых подходов в физике и химии на основе теории множеств. Кантор пытался толковать известное место из Книги Премудрости Соломона, XI, ст.21: “ Ты все расположил мерою, числом и весом”- как подтверждение существования трансфинитного в мире. “Здесь не стоит in numero finito”, - писал Кантор  (Meschkowski H.  Aus den Briefbuchern Georg Cantor. P.512// Archive for History of Exact Sciences - 1965 - V.2, N 6- P. 503 - 519) . В переписке с католическими (в основном) богословами Кантор также пытался доказать существование трансфинитного в мире , как более подобающего бесконечному и всемогущему Богу.  Это вызвало справедливую критику теологов, обвинявших Кантора в наклонности к пантеизму. Последние 30 лет своей жизни Кантор почти каждый год ложился в психиатрическую клинику в Галле, в которой он и умер в 1918 году. Там, как описывал он это в своих письмах друзьям, ему нередко являлась в видениях некая “муза”, которая утешала его и убеждала твердо отстаивать истинность теории множеств... Эта же “муза” посоветовала ему однажды, “отложив все предрассудки”, обратиться к исследованию Евангелия. Результатом этого “исследования” явилась 12 страничная самиздатовская брошюра “Ex Oriente Lux”, в которой Кантор доказывал, что Иисус Христос есть внебрачный сын Иосифа Аримафейского...

        В общефилософском плане теория множеств выступает как факт характерного самоопределения науки конца XIX - XX веков, доводящий до логического предела основные научно - философские интенции, заложенные еще в XVII столетии: редукционизм, конструктивизм, формализм. В этом плане дискуссии вокруг оснований теории множеств естественно перекликаются с другими известными феноменами культуры модерна: формализмом в искусстве, социализмом, фрейдизмом, евгеникой, генной инженерией. Трагические коллизии мысли, связанные с историей так называемых парадоксов теории множеств, представляют собой своеобразное раскрытие и саморазоблачение тех титанических импульсов, которые сыграли существенную роль в становлении новоевропейской науки и цивилизации в целом в XV - XVII веках.

         

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

Платон.  Филеб; Тимей; Аристотель. Физика; Николай Кузанский . Об  ученом незнании; Бруно Дж. О бесконечности, вселенной и мирах; Лейбниц Г. - В. Сочинения: в 4 т. - т.1. - М.: Мысль, 1982. - 636 с.

Декарт Р. Первоначала философии; Спиноза Б. Этика; Беркли Дж. Аналитик, или рассуждение, адресованное неверующему математику;

Кант. И.  Критика чистого разума, Критика практического разума; Гегель Г.-В.-Ф. Наука логики. т1; БольцаноБ. Парадоксы бесконечного; Свящ. Павел Флоренский. Сочинения: в 4 т. - т.1. - М.: Мысль, 1994; Кантор Г. Труды по теории множеств.- М., Наука,1985; Френкель А., Бар - Хиллел И. Основания теории множеств.- М.: Мир,1966; Коэн П. Теория множеств и континуум - гипотеза- М.: Мир, 1969; Катасонов В.Н. Боровшийся с бесконечным. Философско - религиозные аспекты генезиса теории множеств Г.Кантора. М., 1999; Heimsoeth H. Die sechs grossen Themen der abendlandischen Metaphysik und der Ausgang des Mittelalters. 5 - e Auflage. - Stuttgart, Berlin: W.Kohlhammer Verlag, 1965; Pascal B. Pensees // Oeuvres copmpletes. Paris: Edition du Seuil, 1963; Becker O.  Grosse und Grenze der mathematischen Denkweise. - Freiburg - Munchen: Karl Alber Verlag, 1959;  Dauben J.W. Georg Cantor: His Mathematics and philosophy of the Infinite.- Cambridge and L., 1979.