РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

 

ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ

 

 

 

 

В. Н. Катасонов

 

 

 

БОРОВШИЙСЯ С БЕСКОНЕЧНЫМ.

Философско-религиозные аспекты
генезиса теории множеств Г.Кантора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва

«Мартис»

1999


 

 

 

 

Моим родителям
                 посвящаю.

Автор


Введение

Бесконечное является одной из фундаментальных категорий человеческого мышления. Вопрос о бесконечности возникает на всем протяжении истории культуры в самых разнообразных формах. Одна из самых непосредственных  проблема бесконечности (или конечности) мирового пространства, времени, истории, количества вещей в мире. Сюда же относится и вопрос о возможности бесконечного деления континуума, выделении в нем точек. Бесконечное становится одной из центральных богословско-фи­ло­соф­ских проблем христианской культуры, так как бесконечность есть один из основных атрибутов Бога и все тварное, соотносясь с Творцом, соотносится и с бесконечностью. Подобные же проблемы возникают и в других религиозных системах: иудаизме, исламе, буддизме. Вопрос о логической и онтологической природе бесконечности, о ее статусе в Боге и в тварном мире в философии, науке и теологии различных культур получал различные решения и обоснования.

В чисто морфологическом смысле русское слово «бес­ко­неч­ное» имеет смысл отрицания: бес-конечное есть не конечное (ана­логично и латинское infinitum). Но это отрицание можно брать двояко: или как частичное отрицание  то, что может превзойти любое конечное, или как полное отрицание  то, что актуально превосходит любое конечное. Уже в схоластике XIII–XIV вв. (Виль­ям Шервуд, Вильям Хейтесбери) это различие осознается и специально обозначается как синкатегорематическая и категорематическая бесконечности соответственно. Из схоластики же (Гри­горий из Римини) идет и другое наименование этих двух разных подходов к бесконечному: потенциальная и актуальная бесконечности. Это различение было исходным пунктом и у создателя теории множеств Г. Кан­то­ра. Бесконечное, по Кантору, можно брать или как процесс  как увеличение, например, натуральных чисел, удвоение длины отрезка или, наоборот, как уменьшение, деление данного отрезка на все более мелкие части,  или как актуально данное законченное множество (или величину). Бесконечность как процесс не является, по Кантору, бесконечностью в собственном смысле: на каждом шаге, в каждой фазе этого процесса, хотя и безграничного, мы имеем дело лишь с конечной величиной, а в целом  с переменной конечной величиной. Эта «несоб­ст­вен­ная бесконечность» и называется потенциальной бесконечностью. Если же мы берем бесконечное множество как нечто целое, актуально данное, не связанное ни с каким процессом, как, например, в случае, если мы рассматриваем множество всех натуральных чисел или когда мы рассматриваем завершенный результат бесконечного деления отрезка на более мелкие части  как бы ни парадоксально было предположение подобного рассмотрения!  в этом случае мы говорим, что имеем дело с собственно бесконечным, или с актуальной бесконечностью. Эти различения по своему происхождению были связаны еще с античной философией.

Античная мысль в основном рассматривает бесконечное как неоформленное, как неставшее и, следовательно, несовершенное. В пифагорейском списке противоположностей бесконечное стоит на стороне дурного (злого). Бытие в античной мысли тесно связано с категорией меры и предела. Бесконечное в этом смысле выступает как бес-предельное, без-гра­нич­ное, почти не существующее  mh @on. Бесконечное есть нечто близкое к хаосу, а иногда и отождествляется с ним. Бесконечное сближается у Платона и Аристотеля с категорией материи как бесформенным и, в силу этого как бы несуществующим, постигаемым лишь «незаконнорожденным умоза­ключением» под-лежащим субстратом вещей. Бесконечное, как беспредельное, само по себе немыслимо, утверждает Платон в «Фи­ле­бе»: «Беспредельное множество отдельных вещей и [свойств], содержащихся в них, неизбежно делает также беспредельной и бессмысленной твою мысль, вследствие чего ты никогда ни в чем не обращаешь внимания ни на какое число»[1]. Бытие вещи доставляется идеей (или формой), которая о-граничивает бесконечное, осуществляя «вписывание» вещи в упорядоченное единство космоса.

В то же время в античной философии имеются мыслители, которые более позитивно используют категорию бесконечного. Прежде всего к ним относится Анаксимандр, у которого главным началом космологии служит апейрон (греч. @apeiron  букв. без-граничное), из которого возникают и в который возвращаются все вещи (однако по известным фрагментам не совсем ясно, является ли апейрон высшим бытийственным началом или только хаотической смесью основных элементов). Кроме того, здесь нужно назвать атомистов Левкиппа и Демокрита, у которых бесконечное пустое пространство содержит бесконечное количество атомов, образующих бесконечное количество миров.

Однако господствующее отношение к бесконечности в античности все же иное. В окончательном виде оно было выражено Аристотелем. Для Аристотеля бесконечность существует только потенциально, как возможность безграничного изменения: «Бес­ко­нечное есть материя для завершенности величин и целое только в возможности, а не в действительности; оно делимо и при уменьшении и обратном прибавлении, а целым и ограниченным [бес­ко­неч­ное] оказывается не само по себе, а по отношению к другому; и поскольку оно бесконечно, оно не охватывает, а охватывается. Поэтому оно и непознаваемо, как бесконечное, ибо материя [как таковая] не имеет формы»[2]. Не существует актуально бесконечного тела, конечен и сам космос, не существует бесконечной последовательности причин (т. к. в противном случае, по Аристотелю, отсутствовала бы первоначальная истинная причина движения). Актуально бесконечное не дано ни чувствам, ни уму. Потенциальная бесконечность реализуется у Аристотеля для чисел в направлении возрастания  натуральный ряд, а для величин  в направлении убывания: потенциально бесконечное деление данного отрезка. Не­посредственно зависящая от этого круга идей античная математика всегда мыслит свои «прямые» и «плоскости» как конечные, хотя и произвольно большие отрезки или куски плоскостей (в отличие от новоевропейской математики, в которой уже с XVII в. начинают рассматривать бесконечные прямые, например в проективной геометрии).

В неоплатонизме постепенно, не без существенного влияния восточной мистики, пробивает себе дорогу новое положительное понимание бесконечного. Переходной ступенью служили здесь философские взгляды Филона Александрийского, давшего эллинистическую транскрипцию библейского понимания Божества. Единое у Плотина, стоящее выше Ума и, следовательно, выше всякой определенности и формы, в частности числа, не может быть названо бесконечным. Но Ум Плотин уже называет бесконечным в следующих смыслах: в смысле его бесконечного могущества, его единства и его самодостаточности. Все сущее оказывается тем самым между двумя бесконечностями: актуальной бесконечностью божественного Ума и потенциальной бесконечностью мэональной материи, лишенной границ и формы и получающей свои определения только через «отражения» совершенств высшего бытия.

Существенный перелом в отношении бесконечного происходит с утверждением в европейской культуре христианства. Не только христианский Бог в себе оказывается актуально бесконечным, но и творение, и в особенности человек, как «образ Божий», несет на себе (в различной мере) отпечаток совершенств Творца. Однако это понимание утверждается не сразу. У Оригена еще налицо сильнейшая зависимость от основных постулатов греческой мысли: даже Бог не сможет быть бесконечным, так как бесконечное не имеет формы и не мыслимо. Если бы Бог был бесконечным, то Он не мог бы мыслить Самого Себя. Высшее совершенство Бога и его конечность необходимо связаны, по Оригену. Но уже Августин задает вопрос: неужели Бог не может мыслить всех чисел (натуральный ряд) разом? Конечность Бога несовместима, по Августину, с божественным достоинством. В отношении же тварного мира сдвиг происходит еще позднее. У Альберта Великого и Фомы Аквината еще полностью господствуют аристотелевские запреты: в мире не может существовать актуальная бесконечность. Даже точки континуума существуют в нем только потенциально.

«Легализация» актуальной бесконечности в тварном мире исторически была тесно связана с обсуждением природы человеческой души. Последняя сотворена, согласно христианской теологии, «по образу Божьему». В какой степени божественные совершенства отразились в человеческой душе? Уже Дунс Скот настаивал, что человеческая душа по своей природе превосходит ту конечность, которая характерна для всего тварного: ведь человеческая душа способна воспринимать божественную благодать, то есть самого бесконечного Бога. Значит, ей дарована некоторая, адекватная предмету восприятия, бесконечная воспринимающая способность. Еще дальше идут мистики. Экхарт прямо учит о том, что в глубине человеческой души имеется нетварная божественная «ис­кор­ка». Как соприродная Богу, эта «искорка», естественно, актуально бесконечна. Подобное понимание образа Божьего прокладывало дорогу пантеизму и не раз осуждалось католической церковью. Однако в XV в. кардинал Николай Кузанский развивает свое учение о совпадении абсолютного максимума и абсолютного минимума. В рамках этого учения бесконечное, абсолютный максимум становится «адекватной мерой» всех конечных вещей. Понимание соотношения бесконечного и конечного принципиально меняется по отношению к античному: если для последнего все конечное было актуальным, а бесконечное выступало лишь как потенциальное, то для Кузанца  наоборот  любая конечная вещь выступает как потенциальное ограничение актуально бесконечной божественной возможности-бытия (possest)! Аналогично и в рамках пантеизма Спинозы оказывается, что omnis determinatio est negatio (каждое определение есть отрицание): не через предел, не через ограничение бесформенной материи получают вещи свое бытие, а именно от подлежащей бесконечной божественной субстанции, внутри которой самоопределение выступает как частичная негация. Божественная субстанция-природа имеет бесконечные атрибуты, в том числе  протяженность и длительность. Время же, число и мера являются только конечными, или потенциально бесконечными, средствами воображения. В анализе проблемы бесконечного Спиноза как бы предвосхищает подходы к бесконечному у создателя теории множеств Г. Кантора.

Спекулятивная теология Николая Кузанского служит также основанием представлений и о бесконечности вселенной. Бог является «основанием» мира: то, что содержится в Боге «в свернутом виде», мир «разворачивает» в пространстве и времени. Пространственная протяженность мира и время его существования не могут быть конечными, потому что они «выражают» бесконечность Бога. Хотя мир не является бесконечным в том же смысле, как и Бог,  мир не есть все, что может быть,  тем не менее его привативная бесконечность (не Infinitum, а Indeterminatum) включает в себя бесконечность пространства и времени. Пересмотр Н. Ко­пер­ником геоцентрической системы и полемический талант Дж. Бруно помогают этому тезису Кузанца стать в высшей степени популярным к XVIII столетию.

Декарт также поддерживал идею беспредельности мира: хотя и «недопустимо рассуждать о бесконечном, но следует просто считать беспредельными вещи, у которых мы не усматриваем никаких границ,  такова протяженность мира, делимость частей материи, число звезд и т.д.»[3]. Кроме того, по Декарту, бесконечна человеческая воля, являющаяся существенным признаком «образа Божьего» в человеческом существе. Именно несоответствие конечности человеческого разума и бесконечности воли служит, по Декарту, причиной ложных суждений.

На фоне других философов XVII столетия Лейбниц выступает как наиболее убежденный защитник существования актуальной бесконечности. Тема бесконечности обсуждалась Лейбницем в разных аспектах. Актуально бесконечно прежде всего количество субстанций-монад  в Универсуме. Каждая часть материи представляет собой также актуально бесконечную совокупность монад. Устойчивость агрегатов этих монад связана с особыми принципами их подчинения и с законом предустановленной гармонии. «Вся­кую часть материи можно представить наподобие сада, полного растений, и пруда, полного рыб. Но каждая ветвь растения, каждый член животного, каждая капля его соков есть опять такой же сад или такой же пруд» («Монадология», 67). И эта иерархия вложенных друг в друга миров продолжается у Лейбница до бесконечности. Каждая монада, в свою очередь, представляет в своих восприятиях весь бесконечный Универсум, бесконечный как в пространстве, так и во времени. Это понимание ведет Лейбница в психологии к формулировке концепции бесконечно малых («под­соз­на­тель­ных») восприятий. В математике же это приводит к особому пониманию структуры пространственного континуума и, наконец, к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Лейбницевские идеи в отношении актуальной бесконечности остаются в высшей степени действенными и, по существу, непревзойденными все последующие три столетия [4].

Несмотря на то что молодой Кант еще всецело разделял лейбницевскую точку зрения в отношении актуальной бесконечности, позже его взгляды резко меняются. В «Критике чистого разума» в силу самой кантовской философии математики оказываются невозможны ни бесконечное число, ни бесконечная величина. Мир же в отношении своих пространственных и временных характеристик выступает ни как конечный, ни как бесконечный, а как indefinitum  неопределенный.

У Фихте, по-своему разрабатывавшего идею Экхарта о причастности человеческого духа к божественной сущности, вся природа выступает уже как бледное отражение истинной бесконечности, заключенной во внутреннем человеческом мире. Фихте учил о становлении нового мира, точнее, целой последовательности миров, но не через катастрофический онтологический разрыв христианской теологии («второе пришествие»), а в результате органически развивающегося процесса деятельности абсолютного «Я». В этой от века сущей потенциально бесконечной деятельности божественная природа абсолютного «Я» все яснее приходит к осознанию своей актуальной бесконечности. У Гегеля конечное и бесконечное являются лишь двумя терминами в его диалектической триаде. Простое отрицание конечного дает лишь «дурную бесконечность»: никогда не завершающийся переход от одного конечного к другому и представляет собой лишь «долженствование бесконечного». Истинная бесконечность должна диалектически снять оба соотнесенных момента. Истинная бесконечность необходимо должна быть некоторым становлением, которое одновременно есть и самораскрытие. Истинно бесконечен у Гегеля, собственно, Абсолютный дух, который одновременно и актуально бесконечен и осуществляет свое развитие через мир конечных духов.

Немецкий классический идеализм по-своему повлиял на обострение внимания к проблеме бесконечного. Но еще с большей необходимостью утверждалась эта тема в новоевропейской математике. Уже с XVII в., с изобретения аналитической геометрии и дифференциального исчисления, настойчиво заявляет о себе в математике стремление к арифметизации геометрии и анализа, что гипотетически открыло бы путь к реализации грандиозных, идущих еще от Р. Луллия проектов построения так называемой ma­the­sis universalis. Этой арифметизации мешал открытый еще античной наукой факт существования несоизмеримых отрезков. Говоря конкретнее, нужна была логически состоятельная арифметическая теория действительных чисел, которая давала бы четкое и строгое определение и иррациональным числам. Причем самое сложное заключалось в том, что требовалось не просто построить эту теорию, а оправдать и сами нормы строгости, на которые при этом опираются. Другими словами, дело шло не только о решении узкоматематической проблемы, но и о самоопределении науки в смысле выбора конкретной философии математики. Это было непосредственно связано с тем, что при построении теории действительных чисел использовались актуально бесконечные множества (К. Вей­ер­штрасс, Р. Дедекинд, Г. Кантор). Тенденции же, господствовавшие в философии математики середины XIX в., отнюдь не способствовали научной легализации актуальной бесконечности. Характерными примерами являются здесь и проаристотелевская позиция блестящего и авторитетного французского математика О. Коши, и позитивистско-эмпирические взгляды на природу числа и математики вообще влиятельных немецких ученых Г. Гельм­гольца и Л. Кронекера (см. ниже, гл. II).

В 1851 г. выходит книга Б. Больцано «Парадоксы бесконечного», в которой делается попытка опровергнуть традиционные возражения против актуально бесконечного. В ней были подчеркнуты те важные различия, которые потом стали центральными темами философских размышлений и Кантора: актуально и потенциально бесконечное, различие трансфинитного и абсолютного и ряд других. Однако работа Больцано скорее заново поставила все вопросы, связанные с бесконечностью, чем предложила какие-то удовлетворительные решения. Новый подход к бесконечному, построение арифметики бесконечных чисел и обнаружение фундаментальных апорий в рамках этого «исчисления бесконечностей» были уже связаны с именем Георга Кантора.

Эта книга не является ни историко-математической работой, ни биографией Г. Кантора. Интересующиеся собственно математическими предпосылками работ Кантора по теории множеств должны обратиться к соответствующей литературе [5]. Существуют в настоящее время и достаточно подробные биографии Кантора [6]. Нашей же главной целью в этой книге было исследование тех философских и богословских идей, в соотнесении с которыми развивал свою математическую теорию Кантор. Теория множеств, встретившая сразу довольно дружный отпор математического сообщества по причинам как раз, скорее, метаматематического характера, как затрагивавшая серьезные вопросы философских оснований математики, требовала от Кантора и философских же обоснований своих трансфинитных конструкций. Со свойственной ему прямотой и напористостью Кантор ответил на этот вызов и открыл новую «эру» дискуссий по основаниям математики, которые продолжались потом весь XX в. Как глубоко верующий человек, Кантор не мог также пройти мимо того факта, что проблема бесконечности была одной из основных тем христианского богословия. Он имел богатую переписку с католическими (в основном) теологами, из которой еще лучше уясняется его собственная позиция. Богословские апелляции Кантора не исчерпывают, однако, всей глубины проблемы религиозных аспектов генезиса теории множеств. Вот как пишет об этом, например, один из авторитетнейших кантороведов Дж. Даубен: «Письма (и свидетельства коллег, которые знали его) показывают нам, что Кантор верил в то, что был избран Богом возвестить истины теории множеств широкой аудитории. Он также рассматривал повторяющиеся волны маниакально-де­прес­сивных состояний, которые начали мучить его в 80-х гг.,  пики интенсивной активности с последующими все увеличивающимися интервалами самопогружения  как божественные наития. Долгие периоды изоляции в больнице предоставляли возможность для непрерываемых размышлений, во время которых он удостаивался посещений некой музы, чей голос уверял его в абсолютной истинности теории множеств, не обращая внимания на то, что говорили по этому поводу другие»[7]. Как видим, сфера так называемых «социокультурных де­терминаций» науки может захватывать гораздо более глубокие и таинственные области духовного бытия, чем это обычно представляется историкам науки...

Обсуждению философских аспектов теории множеств было посвящено в нашей литературе немало работ. Однако те конкретные философско-богословские положения и традиции, с которыми связывал свою теорию сам Кантор, ссылками на которые полны его сочинения,  не говоря уже о переписке!  специально еще не рассматривались в отечественной литературе по философии науки, насколько мне известно. Или же, еще хуже, лишь упоминались как что-то маргинальное и не имеющее прямого отношения к делу [8]. Но сама объективная ситуация в науке XX столетия заставляет по-новому посмотреть на работы Кантора. Теория множеств, с одной стороны, стала основанием всего здания современной математики. Дискуссии по основаниям теории множеств привели к созданию мощного аппарата математической логики, превратившейся сегодня в самостоятельную и разветвленную область науки. С другой стороны, парадоксы и апории, обнаруженные в самих основаниях теоретико-множественных конструкций, фундаментальные философские трудности, связанные с обоснованием аксиом теории множеств, вынуждают многих говорить о перманентном кризисе, в который была вовлечена математика XX в. Все это, вместе взятое, заставляет нас сегодня внимательнее отнестись ко всем особенностям становления теории множеств в работах самого ее создателя Г. Кантора, тщательно проанализировать и оценить сложную амальгаму научных, философских, богословских идей и влияний, сопутствовавших рождению этой теории. В решение этой задачи данная книга и стремится внести свой скромный вклад.

Автор выражает искреннюю благодарность всем сотрудникам Института философии РАН за доброжелательную и полезную критику, способствовавшую улучшению окончательного варианта книги. Сердечное спасибо проф. С.А. Бешенкову, осуществившему логико-математическую коррекцию книги, и зав. Сектором истории математики ИИЕТ РАН доктору физико-математических наук С. С. Демидову за помощь с литературой.

Горячая благодарность Международному Институту христианских исследований (Christian Studies International) за финансирование издания этой книги. Особенно я благодарен Роберту Ван-дер-Веннену, добрая воля и настойчивость которого помогли найти средства для издания. Особой благодарности заслуживает моя жена Светлана, без самоотверженной помощи которой завершения книги пришлось бы ждать много дольше.


Глава I

Модусы бесконечного

§ 1. Актуальная и потенциальная бесконечности

Опубликование Г. Кантором первых работ по теории множеств в 70-х  начале 80-х годов прошлого столетия, вводящих в рассмотрение так называемые мощности актуально бесконечных множеств и арифметики бесконечных чисел, вызвало сразу же серьезное сопротивление как в среде математиков, так и в среде философов. Вопрос о существовании актуально бесконечных множеств был классическим философским вопросом, и господствующим мнением здесь со времен античности было отрицание самой возможности таких множеств. Кантор же претендовал давать какие-то градации этих невозможных бесконечностей. Ситуация была довольно скандальной, и Кантору пришлось достаточно рано вступить не только в математическую, но и в философскую дискуссию. Точнее, положение было еще драматичнее: говоря с математиками Кантор был вынужден использовать философскую терминологию, чтобы хоть как-то оправдать всю необычность своих подходов, а полемизируя с философами, использовать свои новые математические конструкции, ибо только они могли конкретно показать ограниченность старых представлений [9]. Так, один из основных первоначальных трудов Кантора по теории множеств, специально обсуждающий концепцию бесконечных чисел, называется «Ос­­но­вы общего учения о многообразиях. Математически-фило­соф­ский опыт учения о бесконечном». Он был выпущен отдельной брошюрой в 1883 г. В предисловии к этой работе Кантор откровенно пишет: «Публикуя это сочинение, я не могу не упомянуть, что когда я писал его, то я имел в виду главным образом двоякого рода читателей: с одной стороны, философов, следивших за развитием математики вплоть до новейшего времени, а с другой  математиков, которые знакомы с важнейшими фактами древней и новой философии»[10]. Как видим, требования к читателю были достаточно высокие. А поскольку большинство математиков и философов второй половины XIX в. уже не удовлетворяло им, постольку работы Кантора раздражали как одних, так и других. Достаточно широкий научный кругозор как требуемое условие «без­бо­лез­нен­но­го» восприятия и в особенности обсуждения новой теории был моментом, существенно затруднившим ее вхождение в научный обиход.

Введение актуальной бесконечности как базового научного понятия в математику, как почти всякое значительное нововведение в науке, создало столько же новых проблем, сколько и позволило решить старых. Точнее говоря, создало, конечно же, больше. Однако с самого начала удалось провести аккуратное различение понятий в области, где столь долгое время было много путаницы. Кантор вслед за Больцано настойчиво объяснял различие актуальной и потенциальной бесконечностей. «Что касается математической бесконечности... она, как мне кажется, выступает прежде всего в значении некоторой переменной, то растущей сверх всяких границ, то убывающей до произвольной малости, но всегда остающейся конечной величиной. Такое бесконечное я называю несобственно бесконечным»[11]. Вместе с этим понятием несобственной (или потенциальной) бесконечности в математике встречаются примеры и другого рода, пишет Кантор. Таково, например, использование бесконечно удаленной точки комплексной плоскости в теории функций комплексной переменной. Здесь эту точку рассматривают в собственном смысле, т.е. рассматривают ее окрестности, поведение функции в этой точке и т.д. Благодаря преобразованиям, изучаемым в этой теории, бесконечно удаленная точка становится равноправной со всеми другими конечными точками плоскости. «Если бесконечное выступает в подобной вполне оправданной форме, то я называю его собственно бесконечным»[12]. Действительно, с XVII столетия в математике начинают использовать актуально бесконечные величины. Наряду с бесконечно удаленной точкой в проективной геометрии рассматривают также бесконечно удаленные прямые и плоскости. Основное понятие математического анализа  дифференциал также рассматривался многими как актуально бесконечно малая величина [13].

Кантор четко различает три типа величин: конечные, потенциально бесконечные и актуально бесконечные. Вторые не есть собственно бесконечные, а представляют собой лишь переменное конечное. Собственно бесконечное, как вводит его Кантор, представляет собой одновременно и определенное бесконечное, бесконечные порядковые числа. Эта точка зрения находилась в вопиющем противоречии с более чем двухтысячелетней традицией понимания бесконечного. Патриархом этого понимания был Аристотель, настойчиво утверждавший: может существовать только потенциальная бесконечность. «Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, а взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным. Так, что бесконечное не следует брать как определенный предмет, например, как человека или дом, а в том смысле, как говорится о дне или состязание, бытие которых не есть какая-либо сущность, а всегда находится в возникновении и уничтожении, и хотя оно конечно, но всегда разное и разное»[14]. Это настойчивое отталкивание античной мысли от актуально бесконечного, понимание бесконечного только как процесса, как становления, бес-конечность которого, собственно, сводилась к не-прерывности становления, имеют свою основу в особом отношении античной мысли  и шире: всей культуры  к форме, в почитании формы, обожествлении ее [15]. Бесконечное есть для античности не-оформленное, без-образное, не-ставшее и, на основании всего этого, как бы несуществующее.

Христианство внесло здесь свою существенную поправку: в сознание европейской культуры вошла актуально бесконечная сущность: Бог-Творец. И тут обозначились (и реализовались) разные возможности. Те, кто признавал исходную несоизмеримость Бога и человека, Творца и твари, в частности божественного ума и человеческого, смиренно преклонялись перед тайной божественного всемогущества, всеведения, вечности, короче, перед тайной божественной бесконечности. О ней мы можем знать только через откровение, и только через смирение верующего ума открываются человечеству высшие тайны познания. Другая точка зрения также говорила об откровении, но больше об откровении естественном (а не историческом), в природе, в твари, и в особенности об образе Божием, отраженном в человеке. Человек был сотворен живой личностью, он обладал разумом, волей, чувством, творческими спо­соб­ностями. Это соблазняющее богоподобие [16] человека открывало также путь и к спекулятивному богословию, к выведению знания о Боге не из откровения, а из рассуждений, из интеллектуальных и философских конструкций. Традиция спекулятивного богословия мощно расцвела внутри западноевропейской схоластики, пережила ее и существенно повлияла на становление новоевропейской науки. Интенциями именно этой традиции питалась и мысль Кантора.

Кантор как раз и хотел взять бесконечность «как человека или дом», говоря словами Аристотеля, как некий целый законченный предмет, как бесконечное число. И более того. Это число оказывалось не единственным (традиционно обозначавшимся символом ¥). Область бесконечных чисел оказывалась сама бесконечной, со своими особыми свойствами. Вся идущая от античности огромная традиция критики возможности актуально бесконечного есть для Кантора лишь постоянно повторяющийся паралогизм. «Все так называемое доказательство невозможности актуально бес­ко­нечных чисел являются,  как это можно показать в каждом отдельном случае и заключить из общих соображений,  ошибочными по существу и содержат pr)wton ye)udoV [17] в том, что в них заранее приписывают или скорее навязывают рассматриваемым числам все свойства конечных чисел. Между тем бесконечные числа, если только вообще их приходится мыслить в какой-нибудь форме, ввиду своей противоположности конечным числам должны образовывать совершенно новый вид чисел, свойства которых зависят исключительно от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола и наших предрассудков»[18]. Собственно, в разоблачении этих «предрассудков» и состоит в основном канторовская критика предшествовавших философских воззрений, направленных против актуальной бесконечности. Кантору пришлось вести эту полемику, так как и в среде математиков, и в среде философов сразу же после опубликования первых результатов по теории ординалов (бесконечных чисел) большинство, как мы уже сказали выше, выступило против этой опрокидывающей традиционные представления теории.

Однако, прежде чем разбирать детали этой полемики, нам необходимо иметь элементарное представление о теории множеств.

§ 2. Элементарные понятия «наивной» теории множеств

Теория множеств в той форме, в какой ее строил сам Кантор, еще до появления парадоксов, до четкого выделения ее аксиоматического базиса и использования современных средств математической логики, называется традиционно «наивной» теорией множеств. Она предполагает постоянную апелляцию к некоей общепринятой интуиции множества. И здесь должно заметить, что парадоксы и вся дальнейшая история развития теории множеств и представляли собой как раз критику этой основной интуиции.

Исходное понятие множества тем самым предполагается наличным. Множества можно рассматривать в двух аспектах: а) как неупорядоченные и б) как наделенные некоторым порядком их элементов. Ясно, что первое рассмотрение есть более общий подход. Для любых (т.е., вообще говоря, неупорядоченных) множеств определяется понятие мощности множества. Сам Кантор определяет мощность следующим образом: «„Мощ­но­стью” или „кар­ди­наль­ным числом” множества М мы называем то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из М, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов m и от порядка их задания»[19]. Кантор обозначает кардинальное число для множества M1(две черты означают двойное абстрагирование из определения). Для мощностей определяются понятия равенства, больше, меньше. Мощности множеств А и В равны (или множества эквивалентны), если существует взаимно однозначное отображение множества А на все множество В. В этом случае пишут A = B.1Если же существует взаимно однозначное отображение А на часть множества В, но не существует взаимно однозначного отображения В на часть А, тогда говорят, что A1< B.Для кардинальных чисел (мощностей) строится своя арифметика. Суммой множеств А и В (без общих элементов) называется множество, состоящее из элементов как А, так и В: оно обозначается АÈВ. Тогда сложение кардиналов по определению есть:

A + B = A È B.

Можно показать, что определение это корректно и получающаяся операция коммутативна и ассоциативна. Произведением двух множеств А={a} и В={b} называется множество C=A·B, состоящее из пар {(a;b)}, где aÎA, а bÎB. Соответственно определяется умножение кардиналов:

A · B = A · B.

Так, определенное умножение коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. Можно аналогично определить и возведение множеств в степень, которое также будет обладать традиционными (для чисел) свойствами. Мы тем самым построили некоторую арифметику кардинальных чисел. Для конечных множеств эта арифметика совпадает с обычной арифметикой натуральных чисел. Но, поскольку с самого начала предполагалось, что множества могут быть и бесконечными, тем же самым получена и арифметика бесконечных кардинальных чисел. Свойства бесконечных кардиналов уже отличаются от свойств конечных чисел. Так, пусть a0  первый бесконечный кардинал [20], т.е. мощность множества натуральных чисел a0 = {n}. Тогда нетрудно показать, что

a0 > n; a0+1= a0+n= a0 ; a0 ´ 2= a0 ´ n= a0 ´ a0 = a0;

a02 = a03 = ... a0n = a0.

Восходя от a0, можно построить целый ряд возрастающих кардиналов. «Из a0 по некоторому определенному закону получается ближайшее большее кардинальное число a1, из него по тому же закону ближайшее большее a2 и так далее. Но и неограниченная последовательность кардинальных чисел

a0, a1, a2, ... an, ...

не исчерпывает понятия трансфинитного кардинального числа»[21]. Кантор доказывает существование кардинального числа aw, ближайшего большего, чем все an, далее aw+1 и так далее без конца.

Однако, чтобы доказывать более тонкие теоремы для бесконечных множеств, одного «голого» понятия множества, лишенного всякой структуры, мало. Поэтому Кантор использует вместе с тем и упорядоченные множества, из которых, соответственно, и получается обобщение порядковых чисел  трансфинитные ординальные числа. Множество М называется, по Кантору, просто упорядоченным, если:

а) для любых двух его элементов m1 и m2 можно сказать, какой из них занимает «более высокое» положение (пишут m1<m2, если m2 «выше» m1);

б) для любых трех элементов m1, m2, m3

m1<m2 вместе с m2<m3 влечет: m1<m3.

Всякому упорядоченному множеству М соответствует определенный порядковый тип, обозначаемый M. Под порядковым типом Кантор понимает «то общее понятие, которое получается из М, когда мы отвлекаемся от качества элементов m, но сохраняем их порядковое расположение»[22]. Два упорядоченных множества M и N называются подобными, если их элементы можно поставить во взаимно однозначное соответствие с сохранением порядка. То есть если m1<m2 (в М), n1 соответствует m1, а n2 соответствует m2, то n1<n2N). Тем самым порядковый тип характеризует весь класс подобных множеств. Для продуктивного развития теории нужны, однако, не просто упорядоченные множества, а упорядочения с б)ольшими ограничениями. Вполне упорядоченным множеством называется просто упорядоченное множество, всякое подмножество которого содержит наименьший («самый низкий») элемент. Порядковый тип вполне упорядоченного множества называется соответствующим ему порядковым числом (или ординалом). Для вполне упорядоченных множеств и их порядковых типов (порядковых чисел) можно определить сравнение M < N и доказать теорему:

Если a и b  два произвольных порядковых числа, то или a=b, или a<b, или a>b.

Для порядковых чисел (и даже для порядковых типов) можно определить сложение и умножение. А именно, если даны два упорядоченных множества

A = {...a1, ...an, ...} и B = {...b1, ...bm, ...},

то мы составляем новое упорядоченное множество (A,B), в котором «все B идет за A», а внутри каждого из множеств сохраняется исходный порядок:

(A,B) = {...a1, ... an, ... b1, ... bm, ...}.

Если a=, b=, то мы определяем порядковый тип a + b как порядковый тип множества (A,B):

a + b = .

Легко видеть, что это сложение уже некоммутативно. Пусть, например, w есть порядковый тип множества E = {e1, e2, ...en,...}, en<en+1, а 1  порядковый тип конечного множества из одного элемента f. Тогда 1+w ¹ w+1, т. к. 1+w есть порядковый тип мно­жества

(f,E) = {f, e1, e2, ...en, ...},

а w+1 является порядковым типом множества

(E,f) = {e1,e2,...en,..., f}.

Эти множества очевидно неподобны: у (E,f) есть последний элемент, а у (f,E)  нет. Однако нетрудно видеть, что 1+w=w. И более общим образом, n + w = w, где n  любой конечный порядковый тип. Сложение порядковых типов некоммутативно, но оказывается ассоциативным [23]: a+(b+g) = (a+b)+g. Кантор определяет также и умножение порядковых типов, которое тоже не будет коммутативным (но будет ассоциативным).

Итак, исходя из интуиции множества, Кантор строит систему кардинальных чисел и систему ординалов, или порядковых чисел. Каждому ординалу соответствует вполне определенный кардинал, а именно мощность любого вполне упорядоченного множества, которое представляет данный ординал. Обратное соответствие уже сложнее. Каждое множество определенной мощности a можно вполне упорядочить многими способами (бесконечным количеством способов, если оно бесконечно). Поэтому каждому бесконечному кардиналу соответствует бесконечное множество ординалов, которое Кантор называет числовым классом Z (a).

§ 3. Канторовская критика Аристотеля.
Ориген и Фома Аквинат

Как мы уже сказали выше, канторовская критика традиционного неприятия актуальной бесконечности основана на вскрытии «пред­рассудков», т.е. подразумеваемых само собой разумеющимися представлений о бесконечном как обладающем теми же свойствами, что и конечное. Бесконечное нужно изучать как таковое, а не навязывать ему свойств конечного, настаивает Кантор. Таковы прежде всего возражения против Аристотеля: «Однако если рассмотреть возражения, выдвигаемые Аристотелем против реального существования бесконечности (см., например, его «Метафизику», кн. XI, гл. 10), то по существу их можно свести к предпосылке, заключающей в себе petitio pricipii, именно к предпосылке, что существуют лишь конечные числа. Об этом он заключил из того, что ему был известен лишь счет на конечных множествах. Но я думаю, что выше я доказал,  и в ходе этой работы это обнаруживается еще отчетливее,  что и с бесконечными множествами можно производить столь же определенные действия счета, как и с конечными, предполагая, что множествам приписывается определенный закон, согласно которому они становятся вполне упорядоченными множествами»[24]. Против возражений Аристотеля Кантор выдвигает новую конструкцию. В этом сила его аргументации, но в этом и ее слабость. «Изучение» бесконечного, к которому призывает Кантор, оказывается достаточно специфичным. Канторовская конструкция естественно поднимает вопрос: насколько она естественна? Возможны ли другие конструкции? Возможны ли другие обобщения понятия числа на область бесконечного? Сама по себе голая конструкция ответа на эти вопросы не дает [25]. Бесконечность, в силу самой своей сущности, оказывается очень неудобным «предметом», чтобы оценить всю совокупность возможных подходов к ней.

«Другой аргумент, выдвинутый Аристотелем против реальности бесконечного,  продолжает Кантор,  состоит в утверждении, что если бы существовало бесконечное, то конечное было бы разрушено им, так как конечное число будто бы уничтожается бесконечным числом»[26]. Кантор опять дает критику этого аргумента, исходя из своей конкретной конструкции. Сложение бесконечного и конечного числа интерпретируется им как сложение ординалов. Так, если мы к ординалу, соответствующему множеству натуральных чисел, упорядоченному естественным образом, добавим любое конечное число n справа, тогда это n «не уничтожится»:

w = , n =

w + n =  > w.

Однако n+w = w: если мы добавим n слева, то оно «унич­то­жится бесконечным»:

n+w =  =  = w

«Только обратное действие, именно прибавление бесконечного числа к конечному, когда сначала полагается конечное число, вызывает уничтожение последнего, не приводя к модификации первого. Эта правильная точка зрения на отношение между конечным и бесконечным, совершенно неизвестная Аристотелю, должна была бы вызвать новые идеи не только в анализе, но и в других науках, особенно в естествознании»[27] [выделено полужирным мной.  В.К.]. Невольно хочется здесь защитить Аристотеля. То, что эта точка зрения правильная,  это еще под вопросом. То, что представлено, есть лишь некоторая точка зрения. Некоторая интерпретация аристотелевских рассуждений. И главное, Аристотель, скорее всего, не согласился бы с такой интерпретацией. То есть это не было бы ответом на его рассуждения. Потому что эта интерпретация связана с принятием многих предпосылок, которые чужды и Аристотелю, и античной мысли вообще.

Здесь налицо та самая несоизмеримость научных теорий, о которой столь пространно писал Т. Кун [28]. Вводятся новые понятия и строятся новые научные теории, которые претендуют решить старые неразрешенные задачи. Однако эти новые решения существенно связаны с введением новых объектов, научный статус которых (онтологический ли или просто логический) сам достаточно проблематичен. Для науки нового времени актуальная бесконечность постоянно играла роль подобного объекта. Так, Лейбниц «ре­шил» задачу квадратуры круга: он «вычислил» площадь круга, т.е. выразил ее с помощью бесконечного ряда. Однако что это за объект  бесконечный ряд, легально ли его введение в математику, каковы необходимые логические предпосылки этого введения  все эти вопросы оставались, по существу, открытыми вплоть до XIX в. По существу, произошла замена одной проблемы на другую. Можно ли это считать решением задачи квадратуры круга, как ее понимала античность? [29] Канторовское настойчивое желание ввести «бесконечные числа» грешит все тем же: игнорированием логических границ между старой и новой теорией. Нужно было почти столетнее усилие методологической философской мысли, чтобы сегодня, на пороге нового века, мы научились лучше различать границы различных эпистем.

С уважением относится Кантор к аргументам Оригена и Фомы Аквината против существования актуальной бесконечности. Из оригеновского труда «О началах» Кантор цитирует следующее место: «Рассмотрим начало твари, каким бы ни создал это начало Ум Творца Бога. Должно думать, что в этом начале Бог сотворил такое число разумных, или духовных, тварей (или как бы ни назвать те твари, которые мы наименовали выше умами), сколько, по его предведению, могло быть достаточно. Несомненно, что Бог сотворил их, наперед определив у себя некоторое число их. Ведь не должно думать, что тварям нет конца, как это желают некоторые, потому что, где нет конца, там нет и никакого познания и невозможно никакое описание. Если бы это было так, то Бог, конечно, не мог бы содержать сотворенное или управлять им, потому что бесконечное* по природе  непознаваемо. И Писание говорит: Бог сотворил все мерою и числом (Прем. Сол., XI, 21), и, следовательно, число правильно прилагается к разумным существам или умам в том смысле, что их столько, сколько может распределить, управлять и содержать Божественный Промысел. Сообразно с этим нужно приложить меру и к материи, которая,  нужно веровать,  сотворена Богом в таком количестве, какое могло быть достаточно для украшения мира»[30]. В обозначенном звездочкой месте Кантор в скобках замечает: «Ори­ген всегда имеет в виду лишь @apeiron и говорит, что если бы божественная мощь была @apeiron, то Бог не мог бы познать самого себя». Другими словами, Кантор признает, что для Оригена бесконечное понимается всегда как безграничное, т.е. как потенциальная бесконечность.

Из «Суммы теологии» Фомы Аквината Кантор цитирует следующее место: «1) Актуально бесконечного множества быть не может, поскольку всякое множество должно содержаться в каком-либо виде множеств. Но виды множеств соответствуют видам чисел, а ни один вид чисел не может быть бесконечным, поскольку всякое число есть множество, измеренное единицей [буквально: одним]. Следовательно, актуально бесконечное множество существовать не может, как само по себе, так и по совпадению. 2) Кроме того, всякое существующее в природе множество сотворено; всякая же сотворенная вещь понимается как одно из проявлений какого-то намерения Творца, ибо Создатель ничего не делает бесцельно. Следовательно, необходимо, чтобы всякая созданная вещь понималась как число. Поэтому существование актуально бесконечного множества невозможно даже “по совпадению”»[31]. Фома утверждает: «...ни один вид чисел не может быть бесконечным», т.е. его позиция, по существу, не отличается от аристотелевской. Однако канторовское отношение к Фоме (как и к Оригену) странным образом «более уважительное», чем к Аристотелю. После приведенных цитат Кантор пишет: «Таковы два важнейших аргумента, выдвигавшиеся в течение веков против трансфинитного. Все другие высказывавшиеся доводы легко опровергнуть, заметив, что они основываются на ошибках в умозаключениях. Напротив, оба эти аргумента вполне обоснованы и их можно опровергнуть только положительным образом: показать и доказать, что трансфинитные числа и порядковые типы существуют в области возможного на том же основании, как и конечные числа, и что в трансфинитном имеется, в него в некотором роде укладывается даже значительно большее богатство форм и "species numerorum", чем в относительно малую область ограниченного конечного. Поэтому трансфиниты отвечают намерениям Творца и его абсолютно неизмеримому могуществу в такой же мере, как и конечные числа»[32]. Здесь все спорно и зыбко. То, что «трансфинитные числа существуют в области возможного [а существование в области возможного означало для Кантора непротиворечивость соответствующего математического конструкта.  В.К.] на том же основании, как и конечные числа»,  неверно. Непротиворечивость трансфинитных чисел лишь казалась Кантору очевидной. История развития теории множеств показала, что исследователей ожидали здесь сложнейшие апории. Во всяком случае, ко времени написания работы, из которой мы цитируем (1887), о непротиворечивости, как ее стали понимать в XX столетии, т.е. как о доказанном факте, речи еще не шло. Для Кантора непротиворечивость фактически означает здесь лишь существование некоторой математической конструкции, противоречий в которой еще не обнаружено...Что же касается оснований, на которых существуют конечные числа, то они более внушительны. И главное здесь  это не только их существование «в области возможного», но и существование в области действительного: материальная реализация конечных множеств (и операций с ними).

Кантор признает аргументы Фомы и Оригена «вполне обоснованными». Однако, как мы уже отметили, обоснованность аргументов Фомы ничуть не больше, чем у Аристотеля, а последнего создатель теории множеств упрекал за то, что ему «был известен счет лишь на конечных множествах». Что же касается оригеновских представлений, то тезис об ограниченности Божественного могущества отнюдь не столь обоснован и представляет собой в высшей степени нетрадиционную точку зрения для христианского богословия. Хотя античные традиции мысли и требовали понимать все определенное как ограниченное, однако в том и состоял классический парадокс христианского богословия, что его предмет выходил за пределы форм мышления, созданных древнегреческой фи­лософией...

И наконец, мы опять встречаем здесь тот же канторовский аргумент: возражения против трансфинитных чисел, против актуальной бесконечности падают, мол, автоматически вместе с предъявлением новой математической конструкции. Однако это не так. Новая, чисто математическая теория не дает, вообще говоря, ничего для переосмысления античного понимания связи определенности, формы и конечности. Нужны серьезные усилия философского ума, чтобы осознать философский смысл канторовских нововведений и, в частности, их соотношения с традиционным пониманием числа, укорененным в философии Древней Греции. Характерно также, что Ориген ссылается здесь на знаменитое место из Книги Премудрости Соломона, XI, 21: «Ты все расположил мерою, числом и весом», причем число понимается здесь в обычном смысле, как конечное число. Кантор, считавший, что его математическая теория «оп­ро­верг­ла» традиционное понимание числа, должен был, в частности, переосмыслять подобные теологические интерпретации. Так оно и случилось исторически, как увидим мы это в дальнейшем.


§ 4. Бесконечное у Лейбница. Кантор против постулата
о конечности человеческого рассудка

Канторовская критика новоевропейских представлений об актуальной бесконечности позволяет лучше уяснить специфику его собственной позиции. Так, говоря об отношении к этому предмету Лейбница и Спинозы, Кантор выделяет здесь два основных момента:

а) «к понятию числа принадлежит его конечность»,

б) «истинное бесконечное, или абсолютное, заключающееся в Боге, не допускает никакого определения»[33].

Кантор соглашается со вторым тезисом, имеющим скорее богословскую природу, однако оспаривает первый. То, что между абсолютной бесконечностью в Боге и конечным не существует никаких промежуточных «модификаций», как выражается Кантор, и есть главный пункт его критики. Он справедливо подчеркивает, что и сами философы нередко склонялись здесь в другую сторону. Особенной двойственностью отличалась здесь позиция Лейбница. Мы уже упоминали о его неоднозначной интерпретации дифференциала, который понимался им как актуально бесконечно малая. Лейбницевская концепция монады как, с одной стороны, чисто духовного, непротяженного существа, а с другой  как непременно обладающего некоторым телом, состоящим из подчиненных, еще почти бессознательных, так сказать, «спящих» монад, приводила его к теории бесконечной делимости материи. Кантор ссылается на это знаменитое место из письма Лейбница к Фуше: «Я настолько убежден в существовании актуальной бесконечности, что не только не допускаю мысли о том, что природа не терпит бесконечного (как обычно выражаются), а, напротив, считаю, что она повсюду высказывает любовь к нему, дабы тем нагляднее продемонстрировать совершенство Творца. Итак, я полагаю, что нет ни одной части материи, которая была бы не скажу только неделимой, но даже неразделенной актуально, и, следовательно, любая мельчайшая частица материи должна рассматриваться как мир, наполненный бесконечным количеством разнообразных созданий»[34]. Кантор как бы и устанавливает своей теорией градации этих актуальных бесконечных миров: «...что я утверждаю и что, как мне кажется, я доказал этой работой, как и прежними своими опытами, это что после конечного существует Transfinitum (которое можно было бы назвать Suprafinitum), т.е. безграничная иерархия определенных модусов, которые по своей природе не конечны, но бесконечны и которые, однако, подобно конечному, могут быть охарактеризованы с помощью предназначенных для этой цели, строго определенных и отличных друг от друга чисел. Поэтому, по моему убеждению, область определимых величин не исчерпывается конечными величинами и границы нашего познания можно соответственно расширить, нисколько не насилуя нашей природы»[35].

Кантор выступает против традиционной ссылки на конечность нашего рассудка. Опровержением этого мнения служит, по Кантору, как раз его теория множеств. Ведь согласно конструкциям этой теории человеческий рассудок каким-то образом все-таки ориентируется в бесконечном и различает его степени. Значит, эту «конечность» нужно понимать в каком-то условном смысле. «Как ни ограничена в действительности человеческая природа, к ней все-таки прилипло очень многое от бесконечного, и я думаю даже, что если бы она не была сама во многих отношениях бесконечной, то нельзя было бы объяснить твердой убежденности и уверенности в бытии абсолютного, в чем все мы чувствуем себя единодушными. В частности, я защищаю то воззрение, что человеческий рассудок обладает безграничными способностями к постоянному образованию целых числовых классов, которые находятся в определенном отношении к бесконечным модусам и мощности которых все больше и больше»[36].

Паралогизм, на котором основана традиционная критика возможности бесконечного числа, постоянно подчеркивается Кантором с целью освободить сознание научного сообщества от устоявшихся предрассудков. Так, существует идущий еще от древности парадокс, который приводили обычно для свидетельства невозможности актуально бесконечного числа. Его можно сформулировать в следующей форме: если бы бесконечное число существовало (обо­зна­чим его традиционным сим­во­лом ¥), то в силу «по­гло­ще­ния конечного бесконечным» было бы справедливо следующее равенство: ¥+1=¥. Но для чисел справедливо утверждение: у чисел a и (a+1) различные четности. Значит, бесконечное число было бы одновременно четным и нечетным, что противоречиво. Логическая ошибка, подчеркивает Кантор, здесь очевидна: на бесконечные числа переносятся свойства конечных. Это для конечных чисел невозможно быть одновременно четным и нечетным. Но бесконечные нужно принимать таковыми, какие они есть. Конечно, новые числа необычны. Как выражается сам Кантор, «новые числа отличаются более интенсивной субстанциальной определенностью от традиционных чисел, однако как “количество” они имеют такую же реальность, что и последние»[37].

Другой характерный предрассудок, мешающий принять актуально бесконечность, как не раз отмечал Кантор, есть смешение ее с потенциальной бесконечностью. Так, Гербарт, известный немецкий философ и педагог, говоря о бесконечности, настаивал на незавершенности как ее характерном признаке: «При этом речь идет совсем не о субъективной неспособности, невозможности завершить когда-либо счет или перебор, а о самом понятии бесконечности, существенным, неотъемлемым признаком которого является как раз переменный предел, за которым всегда находится что-то еще... Для бесконечного множества возможность перечисления полностью исключена, ибо подлинно бесконечное можно мыслить только как неопределенное, незавершенное [38]. Кантор возражает Гербарту, что нельзя вести критику понятия актуальной бесконечности, исходя из неадекватного ее понятия. «С тем же правом пишет математик,  он мог бы определить коническое сечение как кривую, точки которой отстоят от центра на равном расстоянии, чтобы, опираясь на это, выставить против Аполлония Пергского положение: «Не существует никаких других конических сечений, кроме окружности, а то, что называют эллипсом, гиперболой и параболой внутренне противоречивые понятия»[39]. Потенциальная бесконечность есть для Кантора, как было показано выше, лишь несобственно бесконечное. В силу господства аристотелевской традиции в западно-европейской интеллектуальной культуре понимание бесконечного как исключительно потенциально бесконечного, незавершенного было очень распространено. Но именно против этого традиционного мнения и выставлял сознательно Кантор свою концепцию актуально бесконечного.

К 70–80-м годам XIX в., когда стали появляться первые работы Кантора, посвященные трансфинитным числам, в математике был уже накоплен достаточный опыт оперирования с различными числовыми системами: иррациональными, комплексными, алгебраическими числами. Исторически проблема обоснования математической легальности этих чисел нередко представляла значительные трудности. Так было прежде всего с комплексными числами, так обстояло дело и с общей концепцией действительного числа. Кантор проводит параллель между восприятием научным сообществом его системы трансфинитных чисел и историей легализации комплексных чисел. Последние долгое время также казались непонятными образованиями. Например, комплексное число не является, вообще говоря, ни положительным, ни отрицательным. Однако со временем и эти числа нашли свою законную интерпретацию при помощи точек плоскости, а теория функций комплексного переменного стала одной из наиболее развитых областей современной математики. Поэтому необычность свойств трансфинитов, по Кантору, не должна сама по себе быть причиной их отвержения. К более непосредственному обсуждению трансфинитных чисел Кантора мы перейдем в следующей главе. Сейчас же полезно обсудить взгляды на бесконечное еще одного из так называемых «пред­шест­вен­ни­ков» Кантора.

§ 5. «Парадоксы бесконечного» Б. Больцано

Кроме, собственно, Лейбница в истории европейской философии у Кантора было мало авторитетных союзников, однозначно поддерживавших тезис о существовании актуальной бесконечности в тварном мире и постижимости ее человеческим разумом. Тем дороже была для создателя теории множеств позиция Бернарда Больцано (1781–1848), чешского философа и математика, также пытавшегося построить некоторое исчисление бесконечностей. Кантор невысоко оценивал позитивно-научный вклад Больцано в учение о бесконечном, однако философские позиции последнего были чрезвычайно симпатичны автору теории множеств. «Ре­ши­тельного защитника собственно бесконечное,  писал Кантор,  ...нашло в одном в высшей степени остроумном философе и математике нашего столетия, в Бернарде Больцано, который развил свои взгляды на этот вопрос в прекрасном и содержательном сочинении «Pa­radoxien des Unendlichen»[40], Leipzig, 1851, имеющем целью показать, как противоречия, отыскивавшиеся в бесконечном скептиками и перипатетиками всех времен, вовсе не оказываются в нем, лишь только берут на себя, правда, не совсем легкий труд рассматривать понятия о бесконечности со всей серьезностью в их истинном значении»[41]. Действительно, в начале своей небольшой книжечки «Парадоксы бесконечного» Больцано объявляет о ее главной цели: показать, что так называемые парадоксы, связанные с понятием бесконечности, являются лишь «кажущимися противоречиями». В книге рассматриваются некоторые общефилософские вопросы, касающиеся бесконечного, математическое применение этого понятия, а также роль бесконечности в рамках того варианта спекулятивного атомизма, который развивал сам Больцано. Для нашей книги важны именно две первые темы.

Из всех представлений о бесконечном главным является, по Больцано, именно количественное понимание бесконечного. Даже когда мы говорим о бесконечности Бога, мы имеем в виду, «что Он владеет силами более чем одного рода, имеющими бесконечную величину»[42]. Но количеством (и величиной) занимается имен­но математика. Поэтому именно математические конструкции с бесконечностью имеют принципиальное значение. Интересно, что Больцано дает определение множества, в целом тождественное с канторовским употреблением этого термина: «Совокупность, определяемую таким понятием, при котором расположение частей безразлично (в которой, следовательно, не происходит никаких существенных изменений, если меняется только расположение частей),  такую совокупность я называю многообразием; а такое многообразие, все части которого будут рассматриваться как единицы известного рода А, т.е. как предметы, содержащиеся в понятии А, называется множеством предметов А»[43]. Однако Больцано не строит на этом основании никакой новой теории множеств. Он, как мы увидим, пытался получить исчисление бесконечностей другим путем.

Бесконечное количество определяется Больцано следующим образом: «Я буду называть бесконечным количеством количество большее, чем каждое конечное, т.е. количество такого рода, что каждое конечное многообразие представляет только часть его»[44]. В этом определении были важны два момента. С одной стороны, говоря о бесконечном как о бесконечном количестве, Больцано тем самым полагает, что речь идет об актуально данном количестве. Поэтому потенциальная бесконечность сразу исключается из рассмотрения как лишь некий несобственный модус бесконечного. С другой стороны, предложенное определение достаточно широко, чтобы не сводиться к слишком частному, по мнению Больцано, пониманию бесконечного у Спинозы: бесконечно то, что неспособно к дальнейшему увеличению. Для чешского математика существуют различные градации бесконечного. Впрочем, понимание их не имеет ничего общего с будущими конструкциями Кантора: если к точкам отрезка добавить одну точку, то, по Больцано, получится большее множество точек, и, уж конечно, количество точек плоскости больше, чем точек прямой [45].

Обладает ли понятие бесконечности предметным смыслом, т.е. существуют ли действительно актуально бесконечные множества? Больцано решительно настаивает на положительном ответе. Прежде всего, актуально бесконечное существует в мысли. «Мно­го­образие предложений и истин самих в себе  бесконечно»,  утверждает философ. Доказательство этого тезиса выглядит так: частью многообразия истин самих в себе является множество, которое строится следующим образом: берем какую-нибудь истину А, например, что истины вообще существуют, затем строим новое предложение  «А  истинно»  и обозначаем его через В. Аналогично строим предложение «В  истинно», обозначаем его через С и так далее, до бесконечности. Все полученные истинные предложения различны (они имеют различные подлежащие), и их бесконечное количество. Поэтому и многообразие истин в себе также бесконечно.

Больцано отрицает правомочность возражения, что так построенное многообразие истин мы не можем представить целиком, т.е. имея, так сказать, «наличным» представление о каждом отдельном члене этого ряда. Точно таким же образом, подчеркивает он, мы не можем представить себе население Праги или Пекина (т.е. располагая точным знанием о каждом жителе), и тем не менее мы считаем, что имеет смысл говорить о количестве жителей этих городов. Вообще, утверждал Больцано, мы можем рассматривать любую совокупность предметов, обладающих некоторым родовым признаком А, безразлично, конечна или бесконечна эта совокупность. Тем самым в свете открывшихся в дальнейшем парадоксов теории множеств (парадокс Рассела, «множество всех множеств» и т.д.) настойчивость Больцано в этом пункте была не слишком глубокомысленной...

Что же касается, так сказать, «онтологического доказательства» существования актуальной бесконечности, то оно у Больцано опирается на тезис, что бесконечно могущественный Бог должен был де сотворить актуально бесконечное и в мире. Этот же постулат будет использовать потом и Кантор [46] в своем «онто­ло­ги­чес­ком доказательстве», однако отнюдь не обязательно, что создатель теории множеств воспринял это навязчиво соблазнительное соображение непосредственно от Больцано [47]. Бог у Больцано «беско­неч­но много знает (совокупность всех истин), бесконечно много желает (сумму всего в себе возможного добра) и все, чего только хочет, силою внешнего воздействия осуществляет в действительности»[48]. С первым и последним можно, безусловно, согласиться, однако почему Бог обязательно бесконечно много желает  непонятно. И ссылка на «все возможное в себе добро» мало что здесь проясняет... Но, если все-таки принять эти больцановские постулаты, то тогда действительно становится более или менее правдоподобным, что «бес­ко­неч­но много желающий Бог» создает бесконечное многообразие существ... Мы думаем, что традиционное христианское богословие понимало эту актуально бесконечную явленность Бога в мире, скорее, совсем в ином смысле. Но об этом будет сказано ниже, когда мы будем говорить о теологических взглядах самого Кантора [49].

Свое исчисление бесконечности Больцано понимает в особом смысле. Речь идет не о «вычислении бесконечности», так как бесконечность неопределима никаким числом, а об определении отношения «одной бесконечности к другой», что, по Больцано, иногда возможно эффективно осуществить. Что здесь имеется в виду  лучше обсудить на примерах. Больцано рассматривает сумму ряда натуральных чисел:

1 + 2 + 3+ 4 +...+ n + (n + 1) + ... in inf., [50],

затем вводит символ :

10 + 20 + 30+ 40 +...+ n0 + (n + 1)0 + ... in inf. = .                  (1)

Нулевые степени натуральных чисел все равны единице, так что , собственно, равно сумме

1 + 1 + 1 + 1 + ... до бесконечности.

Потом вводится символ :

(n + 1)0 + (n + 2)0 + (n + 3)0 + ... in inf. = .                           (2)

После из равенства (1) вычитается равенство (2) (левые и правые части соответственно) и получается

10 + 20 + 30 + ... n0 = n = .                                            (3)

Причем Больцано подчеркивает, что равенства (1) и (2) суть «чис­­то символические равенства», а равенство (3) уже «со­вер­шен­но безупречное равенство, из которого мы видим, как иногда две бесконечные величины  и имеют совершенно определенную конечную разность»[51] [выделено мной.  В.К.] Однако логика этого вывода «хромает», и «бе­зуп­реч­ность» равенства (3) довльно сомнительна. Ведь если (1) и (2)  просто символические равенства, так как никто не знает, как можно суммировать бесконечные ряды слева, то отнюдь не очевидно, что эти бесконечные ряды можно как-то «вычитать» один из другого, например так, как это делает сам автор. Как, впрочем, и непонятно, как можно вычитать символ одной бесконечности из другого...

Применяя подобную же, не обоснованную в случае бесконечных сумм технику, Больцано аналогично получает (ум­но­жая обе части на ):

10 ×  + 20 ×  + 30 ×  + ... in inf. = ()2,

10 × ()2 + 20 × ()2 + 30 × ()2 + ... in inf. = ()3 и т.д.

«Из этого мы видим,  заключает автор,  что существуют бесконечные величины так называемых высших порядков, из которых одна превосходит другую в бесконечное число раз. Существование бесконечных величин, имеющих рациональное, так же как и иррациональное отношение a : b, вытекает уже из того, что, поскольку  означает неизменную бесконечную величину, постольку a×и b×представляют пару бесконечных величин, находящихся в отношении a : b»[52].

Бесконечное количество точек на отрезке Больцано хочет связать с длиной этого отрезка: «Не менее ясным окажется и то, что все многообразие (множество) величин, находящихся между двумя данными величинами, например между 7 и 8, хотя оно и бесконечно и не может быть вследствие этого определено никаким числом, как бы велико последнее ни было, зависит, однако, единственно от величины расстояния этих двух крайних величин, т.е. зависит от величины 87, и должно быть вследствие этого одинаковым, как только это расстояние одинаково. В этом предположении, если обозначить количество всех величин, лежащих между a и b через Mult. (ba), то получаются бесчисленные равенства следующего вида:

Mult. (87) = Mult. (1312),

а также и следующего:

Mult. (b—a) : Mult. (dc) = (ba) : (dc),

против правильности которых нельзя возразить ничего основательного»[53]. Требуя логической «презумпции невиновности» для своих утверждений, Больцано как бы забывает о необходимости «пре­зумпции их доказанности»: если против этих утверждений нельзя возразить «ничего основательного», то в то же время и за них нельзя привести достаточно убедительных доводов...

Анализируя эти и другие примеры построения этого своеобразного «исчисления бесконечности» у Больцано, нетрудно догадаться, на какую методологическую парадигму он здесь ориентируется. Больцано хочет получить соотношения для бесконечных множеств, используя их «участие» в уже известных математических конструкциях и опираясь на известные свойства и формулы последних. Такой прием в математике называется методом идеальных элементов [54]. Именно таким способом, например, исторически утвердилось в математике комплексное число. Никто не знал, что такое . Более того, было понятно, что такого действительного числа не существует. Однако для нужд вычислений с действительными числами оказалось полезным введение этого символа i=, про который по определению можно было сказать только, что i2 =-1. Но этот чисто условный символ, «идеальный элемент», позволил значительно расширить границы теории функции, найти новые методы решения старых классических задач, найти новые, более общие подходы. Больцано был прекрасно осведомлен обо всем этом. И он пытается ввести бесконечность как такой новый идеальный элемент (например, символ Mult. (ab)), ввести его каким-нибудь образом в уже известные теории и формулы и получить на этот элемент новые соотношения. Другими словами, он стремится как бы чисто технически овладеть бесконечностью, без встречи с ней, так сказать, непосредственно, «лицом к лицу», без прямого обсуждения ее свойств...

Хотя Больцано и утверждал, что количество точек на отрезках разной длины различно (Mult. (ba) : Mult. (dc) = (ba) : (dc)) и что будто бы против этого «нельзя возразить ничего основательного», однако на самом деле эти возражения были уже давно известны. Не были они новостью и для самого Больцано. Речь идет о взаимно однозначном соответствии между точками любых отрезков:

 

Рис. 1

 

С помощью такой, например, проективной конструкции можно любой точке М отрезка [a;b] поставить в соответствие точку N отрезка [c;d] так, что соответствие будет взаимно однозначным и лишних точек не останется. Этот прием  классический пример парадоксальных свойств бесконечных множеств: количество точек на отрезках разной длины одинаково. Однако особенность позиции Больцано в том и состояла, что он не хотел соглашаться с этим выводом. Впрочем, он не может привести каких-то решающих доводов и против всей фундаментальной очевидности взаимно однозначного соответствия точек двух отрезков. Больцано лишь многословно объясняет, что для равенства двух многообразий (как множеств) они должны быть равны «во всех отношениях» (т.е., по существу, тождественны, что, собственно, достаточно банально). И по этой логике поскольку, например, в нашем проективном соответствии NN' > MM', то «отсюда естественно следует, что в промежутке каждых двух величин в B содержится другое (боль­шее [???  В.К.]) количество величин, чем это имеет место в A; таким образом, нет ничего удивительного, что и все количество величин в B другое (больше), чем в A»[55]. Другими словами, по Больцано, количество точек в большем отрезке больше.

Аналогично «длина прямой, простирающейся безгранично в направлении аR, бесконечна, но... прямая bR,

 S                                             b               а                                                                 R

 

Рис. 2

из точки b идущая в том же направлении, больше, чем aR, на отрезок ba... и прямая, идущая неограниченно в обоих направлениях aR и aS, должна быть названа большей на величину, которая сама бесконечна...»[56]. Не хочет Больцано признавать взаимно-однозначного соответствия и в аналитических выражениях. Поэтому в сумме

1 + е + e2 + ... + en + en+1 + ... in inf.

членов на n больше, чем в сумме

en + en+1 + ... in inf.,

несмотря на то, что вторая сумма, по признанию самого же Больцано, равна

en (1 + е + e2 + ... + en + en+1 + ... in inf.)[57].

Больцано хочет уйти от парадоксов, сохранив, так сказать, наивную точку зрения. Эта деланная наивность, однако, дается не без некоторого труда, как показывает последний пример. Таким же духом соединения тщательности и бесплодности отмечены попытки ввести «единицы бесконечности» разных размерностей. Так, если количество точек, лежащих на единичном отрезке (вместе с концами), мы обозначим через Е, то количество точек на отрезке длины n будет

n (n  1),

так как n единичных отрезков будут пересекаться в (n  1) точке. Аналогично, если количество точек в квадрате со стороной 1, включая и точки на границе, мы обозначим через E2, то количество точек в прямоугольнике со сторонами m и n будет

mn E2  [ n (m  1) + m (n  1) ] E + (m  1) (n  1).

Аналогичные формулы пишутся и для параллелепипеда.

На фоне этих достаточно бесплодных вычислений еще ярче выступает интеллектуальная дерзость Кантора, принявшего все известные парадоксы бесконечности как ее характерные свойства и начавшего последовательно строить на этих необычных основаниях новую теорию. Больцано пытается, так сказать, «косвенно» овладеть бесконечностью, через метод идеальных элементов. Поэтому ему нужно связать вводимые символы бесконечности (E, E2, Mult. (b — a) и т.д.) с метрическими [58] свойствами фигур. Однако попытка не удается. Существенно новых свойств из чисто технического оперирования с символами бесконечности не получается. Нет новой идеи. Кантор же прямо кладет в основание своей теории в качестве определения равенства мощностей множеств процедуру взаимно однозначного соответствия элементов множеств. Правда, тем самым разрываются связи теоретико-множественных построений не только с метрическими свойствами фигур, но даже и с топологическими. Отрезок и куб любой размерности оказываются как множества точек равномощными, однако взаимно од­но­знач­ное соответствие между ними осуществляется функцией разрывной и в высшей степени искусственной... Но это не останавливает Кантора, и он последовательно идет по выбранному пути.

Больцановская попытка, так сказать, «с бокового входа» войти в сферу бесконечного не удалась. При всей симпатии к философским установкам Больцано в отношении бесконечного Кантор ясно осознавал стерильность больцановских построений для «ариф­метики бесконечного». «Больцано, быть может, единственный автор,  писал Кантор,  который до некоторой степени оперирует собственно бесконечными числами; по крайней мере у него о них неоднократно идет речь. Однако я никак не могу согласиться с тем способом, каким он трактует их, не будучи в состоянии дать им правильное определение, и, например, § 29–33 его книги я считаю необоснованными и ошибочными. Для действительного выражения в понятиях определенно бесконечных чисел у этого автора не хватает как общего понятия мощности, так и точного понятия количества. Правда, в отдельных местах оба последние встречаются у него в зародышевом виде в форме специализаций, но, как мне кажется, при этом он не может достигнуть полной ясности и определенности, чем и объясняются многие непоследовательности и даже ошибки этой замечательной книги. Без вышеупомянутых двух понятий невозможно, по моему мнению, продвинуться вперед в учении о многообразиях»[59].

В обсуждаемой работе Больцано попытался также дать и свою конструкцию континуума. Как и Кантор, автор «Пара­док­сов» был убежден, что континуум можно (и должно) построить из точек: «Следует настаивать на том, что каждый континуум не может произойти в конце концов ни из чего другого, кроме точек, и только точек»[60]. Больцано предложил, однако, неправильную конструкцию континуума: «Континуум существует там, и только там, где имеется совокупность простых предметов (точек во времени или в пространстве, или субстанций), расположенных таким образом, что каждый из них на каждом, сколь угодно малом расстоянии имеет, по крайней мере, один соседний с ним предмет»[61]. Подобным свойством обладает, например, множество рациональных чисел отрезка [0; 1], которое, однако, не исчерпывает всего континуума [0; 1], так как в нем имеются и иррациональные числа. Кантор, предлагая свою модель континуума как «совершенного и связного множества», отметил также и несостоятельность больцановской конструкции [62].

В целом, заключая этот параграф, можно констатировать: несмотря на общность философских интенций Кантора и Больцано, последнему не удалось построить какие-то новые положительно-научные математические конструкции, оперирующие с актуально бесконечным. В бесконечное Больцано надеялся войти «по непрерывности», используя соотношения бесконечного с конечным, опираясь на логическую непрерывность свойств финитных и бесконечных объектов, в духе метода «идеальных элементов». То же, что суждено было предложить в скором будущем Кантору, представляло собой именно нарушение логической непрерывности  скачок в трансфинитное.


Глава II

Трансфинитные числа

§ 1. Трансфинитные числа  новые иррациональности

Канторовские трансфинитные числа самим своим определением  как элементы некоторого исчисления бесконечности  вызывали подозрение в логической несостоятельности и встречали сопротивление большинства ученых. Однако использование актуальной бесконечности в математике отнюдь не было нововведением Кантора, как мы отмечали уже выше, и он всячески старался использовать этот момент для реабилитации своих новых чисел. В частности, один особый вопрос в математике был близок к рассматриваемой теме. Это вопрос о теории действительных чисел. Действительные числа суть числа рациональные и иррациональные. Рациональные по самому своему определению выражаются в арифметических терминах: r = , где m и n  целые числа. Иррациональные же числа, открытые еще в античности, понимались скорее геометрически. Точнее говоря, в древнегреческой математике нет собственно иррациональных чисел, а есть иррациональные отношения отрезков, например отношение диагонали квадрата к его стороне. Поэтому, когда мы на числовой оси согласно выбранному масштабу отметим все точки, соответствующие рациональным числам, то останутся еще «свободные точки», которые соответствуют иррациональным числам.

 


           -1                    0               1        2                     3

Рис. 3

 

В десятичной записи эти точки будут иметь координаты, выраженные бесконечными непериодическими десятичными дробями. Бесконечная десятичная дробь понималась как сумма бесконечного ряда. Например,

0,125837... = +++++ ...

Другими словами, бесконечная десятичная дробь представляла собой некоторый предел. Понятию предела в 20-х годах XIX в. придал общеупотребительную арифметическую форму великий французский математик О. Коши. Но это определение не всех удовлетворяло. Оно использовало понятие произвольного числа, следовательно, и иррационального, которое само было пределом. Необходима была арифметическая теория действительного числа, которая бы не опиралась на понятие предела. К началу 70-х годов XIX столетия было предложено несколько таких теорий: Ш. Мере, К. Вейерштрассом, Р. Дедекиндом, Г. Гейне. Кантор также предпринимал усилия в направлении решения проблемы арифметизации действительных чисел. В особенности замечательна была теория Р. Дедекинда [63] (1872). Здесь действительные числа отождествлялись с так называемыми «сечениями»  разбиениями множества всех рациональных чисел на два бесконечных подмножества [64]. В теории Дедекинда математика оперировала с актуально бесконечными множествами и, более того, соотносила их с числами.

Поэтому нет ничего удивительного в том, что Кантор, полемизируя с противниками своих трансфинитных чисел, уподобляет последние иррациональным. «Трансфинитные числа в известном смысле суть сами новые иррациональности. Действительно, по-моему, лучший метод определения конечных иррациональных чисел совершенно подобен, я готов сказать, в принципе, тот же самый, что и мой описанный выше метод введения трансфинитных чисел. Можно, безусловно, сказать: трансфинитные числа стоят или падают вместе с конечными иррациональными числами. По своему внутреннему существу они подобны друг другу, ибо как те, так и другие суть определенно отграниченные образования или модификации (_aforism)ena) актуально бесконечного»[65]. В этом уподоблении много верного. Действительно, «язва» актуальной бесконечности вошла в математику еще с иррациональными числами. Это прекрасно осознали уже древнегреческие математики: в самом геометрическом доказательстве несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны (по так называемому алгоритму Евклида) процесс уходит в бесконечность. Поэтому в ориентированной на устойчивую онтологическую картину мира математической культуре Древней Греции [66] никто не рисковал вводить иррациональных чисел. Хотя Евдокс уже начинает рассматривать любые отношения и дает свое определение равенства отношений, имеющее характерный позитивистский вкус и использующее актуальную бесконечность... В духовно искушенном средневековье двойственно-по­до­зри­тельное отношение к иррациональностям сохраняется. В эпоху Возрождения вместе с решением алгебраических уравнений в математику хлынул поток иррациональностей, с которыми оперируют уже как с числами. С XVII столетия возникающий математический анализ уже «ни­что­же сумняшеся» использует весь континуум числовой оси в качестве законных чисел. Однако общей теории действительного числа все еще нет. И только во второй половине XIX в. эта теория создается... И существенно, что она использует актуально бесконечные множества. Актуальная бесконечность, непонятная, парадоксальная и пугающая античность своей несоизмеримостью с человеческим разумом, входит в науку нового времени как бы с черного хода: через вычисления, через прикладные методы, через прагматику математики. И когда в XIX в. начинается логическое наведение порядка в науке, она  уже здесь...

Кантор совершенно прав, когда подчеркивает подобие своих трансфинитных чисел иррациональным. Так, характеризуя первое трансфинитное число w, он пишет: «Разумеется, этот знак w можно в известном смысле рассматривать как предел, к которому стремится переменное целое число n, но только в том смысле, что w есть наименьшее трансфинитное порядковое число, т.е. наименьшее твердо определенное число, которое больше, чем все конечные числа n. Аналогично и есть предел известных переменных возрастающих рациональных чисел с той лишь особенностью, что разность между  и этими приближенными дробями становится бесконечно малой, тогда как w-n всегда равна w. Но это различие нисколько не меняет того обстоятельства, что w содержит в себе столь же мало следов стремящихся к нему чисел n, как и  от иррациональных приближенных дробей»[67].

§ 2. Платоновские мотивы у Кантора

Любопытны разъяснения, которые Кантор давал относительно своих бесконечных чисел (точнее, кардиналов). «Каждое множество четко отличающихся друг от друга вещей можно рассматривать как некую единую вещь саму по себе, в которой рассматриваемые вещи являются составными частями или конститутивными элементами. Если абстрагироваться как от свойств элементов, так и от порядка их заданий, то получается кардинальное число, или мощность множества,  общее понятие, элементы в котором в виде так называемых единиц срастаются известным образом в такое органическое единое целое, что ни один из них не имеет привилегированного положения в отношении других»[68] [выделено полужирным мной.  В.К.]. Здесь характерно это акцентирование органического единства новых чисел, сращения составляющих его единиц. Число берется не как механический агрегат составляющих его единиц, а как некая целостность, тяготеющая к типу живого организма. Эти особенности суть характерные моменты платоновского понимания идеи вообще и числа в частности. Сам Кантор в своих работах 80-х годов не слишком адекватно называл свою позицию «умеренным аристотелевским реализмом», но, что любопытно, противопоставлял ее номиналистическому подходу к понятию числа у своих противников, критиков трансфинитных чисел. Об этой полемике мы будем подробнее говорить ниже. Сейчас нам важнее осознать этот характерный платоновский пафос канторовских построений.

Здесь очень поучительно письмо, написанное Кантором фран­цуз­скому математику Ш. Эрмиту в середине 90-х годов. Эрмит, обсуждая с Кантором природу чисел, писал в предыдущем письме: «Чис­ла (целые) представляются мне как бы образующими некоторый мир реальностей, существующих вне нас с тем же характером абсолютной необходимости, как и реалии природы, знание которых дается нам нашими чувствами и т.д.»[69]. Отвечая, Кантор подчеркивает, что для него числа обладают гораздо большей онтологической реальностью: «Позвольте мне к этому заметить, что для меня реальность и абсолютная закономерность целых чисел кажется более сильной, чем реальность чувственного мира. И что дело обстоит именно таким образом, имеет единственное и очень простое основание, а именно то, что целые числа и отдельно, и в своей актуально бесконечной целостности, как и вечные идеи, существуют в высшей степени реальности in intellectu Divino»[70]. Эта убежденность Кантора в «сверхпсихологической» реальности чисел  существенный момент, всегда направлявший его математические исследования. В дискуссиях, которые он вел с коллегами математиками, философами и богословами о природе трансфинитов, его позиция была неизменной. В обсуждаемом нами письме к Эрмиту Кантор отмечает, что эта его точка зрения на число определилась уже давно. Еще в 1869 г. в конкурсной работе на замещение должности профессора в Галле один из публично защищаемых Кантором тезисов звучал так: Numeros integros simili modo atque corporа coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere [71]. Позже, отмечает Кантор здесь же, он заметил существенную близость своей точки зрения с позицией, высказанной св. Августином в книге «О Граде Божием»[72].

Если для Эрмита постановка чисел в один ряд с чувственной реальностью дает первым больший онтологический статус, так как чувственная реальность для него является как бы образцом реальности, то для Кантора дело обстоит иначе. Реальность чувственного мира для него  отнюдь не высшая возможная степень реальности. Реальность божественных идей, по которым и сотворен, собственно, мир, выше. И числа, как конечные, так и трансфинитные, обладают именно этой реальностью, более высокой, чем реальность чувственных вещей.

Вряд ли можно назвать эту позицию «умеренным аристотелевским реализмом», как это делает сам Кантор. Мы склонны здесь согласиться больше с формулировкой Дж. Даубена, который в своей монографии, посвященной Кантору, определяет его позицию как «сильная форма платонизма»[73].

В приведенной цитате  необходимо это подчеркнуть  для нас впервые выступает религиозное измерение канторовской мысли. В силу особенностей самой личности создателя теории множеств, его мировоззрения религиозная тема была тесно связана с его научным творчеством вообще и с теорией множеств в особенности. Но в этой связи сказывались и объективные основания, засвидетельствованные историей науки и культуры. Актуально бесконечное постоянно выступает в истории в богословских построениях. Все данное в мире чувственном  конечно, и только философская спекуляция ставит вопрос о возможности бесконечного. Бог же по самой своей идее, во всяком случае в мировых религиях, актуально бесконечен. Древнегреческая философская и научная мысль осознала идею потенциальной бесконечности и сознательно отвернулась от актуальной. Лишь в рамках христианской культуры идея актуальной бесконечности как одного из атрибутов Бога становится постепенно привычной. Спекулятивное богословие, хотя и не создало теории бесконечных чисел, но все более и более настойчиво вводило понятие актуальной бесконечности в научный оборот, вырабатывало важные определения и дистинкции. Кантор сам нередко подчеркивал, сколь многим он обязан был католическому богословию (мы поговорим об этом подробнее ниже). Игнорировать эти факты  значит не понимать больших исторических культурных и научных традиций, связанных с возникновением теории множеств, не понимать всей глубины и культурной значимости самой научной теории [74].

Но вернемся к канторовскому платонизму. Свое видение числа как некоего целостного органического комплекса, как идеи Кантор обнаруживает постоянно. Так, говоря о понятии числа у Евклида, он прежде всего подчеркивает, что для автора «Начал» число есть нечто целостное, связанное с множеством, а не с процессом его субъективного пересчета. Имеются в виду следующие определения Евклида: «Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым», и «число же  множество, составленное из единиц»[75]. «Но далее мне кажется,  пишет Кантор,  что он [Ев­клид.  В.К.] ошибочно рассматривает единицы в числе столь же раздельными, как и элементы в том дискретном множестве, к которому оно относится. В евклидовом определении по крайней мере не хватает прямого указания на единый характер числа, между тем как это безусловно существенно для него»[76]. Единицы в числе соотносятся, по Кантору, отнюдь не так же безразлично, как элементы какого-нибудь произвольного множества между собой. Последнее может быть совсем не связано с какими-то реальными (фи­зи­чес­ки­ми) соотношениями элементов множества между собой, множество может существовать только в сознании созерцающего. Но не так обстоит дело с множеством единиц, объединенных в понятии числа этого множества. Они уже должны быть органически сращены в единство числа. Число выступает здесь как некая форма, но не в смысле субъективного единства пересчета, а в смысле объективно существующего идеального единства. То же относится и к канторовским порядковым числам (или порядковым типам). «Если нам дано множество М, то его элементы следует представлять себе раздельными. В его же умственном образе ..., который я называю его порядковым типом, эти единицы, напротив, соединены в один организм. Всякий порядковый тип можно в известном смысле рассматривать как композицию из материи и формы: содержащиеся в нем понятийно различимые единицы образуют материю, тогда как существующий между ними порядок соответствует форме»[77].

Любопытно, что, говоря о конечных кардинальных числах, т.е. о мощностях конечных множеств, Кантор настойчиво подчеркивает их раздельное, независимое одно от другого существование. Это делается для того, чтобы утвердить принципиальный для Кантора подход к числу: числа возникают не из счета, когда каждое занимает определенное место в ряду обозначений натуральных чисел [78], а из абстракций конечных множеств, в которых игнорируется порядок. Для Кантора настолько важно это автономное, не связанное ни с какой психологической процедурой существование каждого числа, что он даже настаивает, что обычный порядок натуральных чисел есть, вообще говоря, произвольный порядок «и при многообразии отношений чисел друг к другу представляет собой лишь одно из бесчисленно многих возможных закономерных соединений и расположений всех кардинальных чисел»[79]. Это многообразие отношений чисел друг к другу есть некоторое «виртуальное» множество соотношений. Канторовские рассуждения здесь, рассматривающие каждое число как автономную «органическую» реальность, имеют определенно платоновский характер. «Для образования общего понятия «пять» необходимо лишь одно множество (например, множество всех пальцев моей правой руки), которому соответствует это кардинальное число. Акт абстракции, производимый по отношению к тем свойствам и порядку, в каких оказываются передо мной эти четко отличающиеся друг от друга вещи, вызывают или, скорее, пробуждают в моем уме понятие «пять». Это следовательно пять в себе и для себя, независимо от «че­ты­рех», «трех» или какого-либо другого числа. Каждое число есть, по своему существу, простое понятие, в котором некоторое многообразие единиц собрано органически едино, специальным образом, так что в нем различные единицы  равно как и получающиеся из их частичного собирания числа  являются виртуальными составными частями. То обстоятельство, что по данному в п. 5 определению суммы имеет место равенство

5 = 2+ 3,

не должно побуждать нас к допущению, будто в понятии 5 содержатся как реальные части понятия 2 и 3. Если бы это было так, то никогда не могло бы иметь места равенства 5 = 1 + 4. Но 1, 2, 3, 4 определенно можно назвать виртуальными составными частями у 5, если под этим понимать просто то, что в каждом конкретном множестве М с кардинальным числом 5 содержатся подмножества М¢, которым соответствуют кардинальные числа 1, 2, 3 и 4»[80]. Хотя Кантор не решается прямо поддержать платоновскую онтологию чисел и под виртуальными составными частями хочет понимать «просто то» (wenn hierunter nichts anderes verstanden wird [81]), что написано в последней фразе цитаты, тем не менее дальше мы опять читаем о «закономерных отношениях, которые в своем многообразном и сложном переплетении связывают царство конечных кардинальных чисел в одно идеальное, органическое целое [!!  выделено полужирным мной.  В. К.[82]. При всех оговорках, постоянное тяготение создателя теории множеств к платоновской онтологии  кульминирующее, конечно, в настойчивом утверждении того, что числа существуют in intellecto Divino оспаривать было бы трудно.

Эта же платонизирующая тенденция сказывается у Кантора и при критике использования времени в понятии числа. «Сло­же­ние единиц никогда не может служить для определения числа, так как здесь указание главного факта, а именно как часто должны складываться единицы, не может быть получено без самого определяемого числа. Это доказывает, что число, получаемое единым актом абстракции, должно задаваться как органическое единство единиц. Отсюда, далее, следует, насколько глубоко ошибочно желание сделать понятие числа зависящим от понятия времени или от так называемого созерцания времени. В новой философии это часто про­ис­хо­дило после начинания Канта. Сэр Уильям Роуэн Гамильтон, например, определял арифметику как «The science of pure time»[83], и это делали многие другие авторы. С тем же правом они могли бы рассматривать и всякую другую науку, например геометрию, как «the science of pure time», ибо при образовании геометрических или прочих понятий мы субъективно прибегаем ко «времени» как к форме существования повседневной жизни не меньше, чем при овладении арифметическими понятиями»[84] [вы­де­ле­но полужирным мной.  В.К.].

§ 3. Противники (Г. Гельмгольц, Л. Кронекер, К. Гаусс, О. Коши)

Канторовская критика в последней цитате предыдущего параграфа направлена против господствовавшей в научной среде 70–80-х годов психологической теории чисел. Главным ее представителем был Г.Л. Гельмгольц (1821–1894), известный и влиятельный немецкий ученый, оставивший заметный след в физике, химии, физиологии и психологии своего времени. Гельмгольц защищал тезис об эмпирическом происхождении научного знания. Таков был его взгляд на аксиомы геометрии, таков же и на природу чисел. «Я рассматриваю арифметику или учение об отвлеченных числах, как основанную на чисто психологических фактах методу, которая учит последовательному употреблению системы знаков (именно чисел), обладающей безграничною распространенностью и безграничной способностью к улучшению [выделено полужирным мной.  В.К.[85]. Натуральный ряд чисел основывался здесь на понимаемом чисто психологически факте счета: «Счет есть операция, основывающаяся на том, что мы находимся в состоянии удерживать в памяти последовательность, в которой являлись во времени один за другим акты нашего сознания. Мы можем поэтому рассматривать числа как ряд произвольно избранных знаков, для которых только один определенный вид последовательности считается нами естественным или “натуральным”»[86]. Исходя из этого определялись операции над целыми числами, доказывались их традиционные свойства, объяснялась их применимость в геометрии и физике. Такой подход не допускал, конечно, строгой теории иррационального числа, поэтому последние, как реально существующие необходимые символы несоизмеримых соотношений, могли быть представлены только рациональными приближениями: «Иррациональные отношения могут встречаться в вещественных объектах, в числах они не могут никогда быть точно представлены; зато их численное значение может быть включено в произвольно тесные границы»[87]. В этой теории, основывающей свое понятие числа на психологическом феномене счета, не может, конечно, быть места для актуальной бесконечности. В целом эти взгляды Гельмгольца были выражением господствующего во второй половине XIX в. эмпирико-позитивистского взгляда на науку [88].

За Гельмгольцем следует и влиятельный математик своего времени, профессор Берлинского университета Л. Кронекер (1823–1891). Он также исходит при построении математики из феномена счета: «Естественный исходный пункт для развития понятия о числе находится, по моему мнению, в порядковых числах. В них обладаем мы запасом известных, в твердой последовательности находящихся обозначений, которые мы можем приписывать группе различных “различаемых нами предметов”»[89]. Но Кронекер опирается не столько на психологическую теорию числа, сколько на опыт математики и математического естествознания. В математике он, как и многие великие ученые, считает центральной дисциплиной арифметику. Арифметика, согласно Кронекеру, играет по отношению ко всей математике ту же роль, что и сама математика по отношению к геометрии и прикладным областям  механике, физике и т.д. Под арифметикой Кронекер понимает, собственно, теорию чисел в широком смысле слова: «При этом слово «ариф­ме­ти­ка» должно пониматься не в обыкновенном ограниченном смысле, но должно включать все математические дисциплины, за исключением геометрии и механики. И я верю, что когда-нибудь удастся «арифметизировать» все содержание этих математических дисциплин, т.е. основать их единственно и исключительно на понятии о числе, взятом в самом тесном смысле [т.е. натуральном числе.  В.К.], отбросив те изменения и распространения этого понятия, которые вводились преимущественно ради приложений к геометрии и механике [90]. Принципиальное различие между геометриею и механикою, с одной стороны, и прочими математическими дисциплинами, составляющими «арифметику», с другой, состоит, по мнению Гаусса, в том, что предмет последних, число, есть продукт только нашего ума, между тем как пространство и время имеют и вне нашего духа реальность, которой мы не можем a priori предписывать законы»[91]. Будучи сторонником радикальной арифметизации, т.е. прежде всего сведения всех конструкций математического анализа к целым числам, Кронекер отказывался принимать иррациональные числа как легальные математические понятия. Соображения непрерывности или, что еще хуже, философские спекуляции, связанные с понятием бесконечности, были несовместимы с его пониманием научной строгости. Даже говоря об использовании бесконечных рядов в анализе, Кронекер считал, что это допустимо лишь в случае наличия точной арифметической формулы общего члена. По существу это значило для него, что мы имеем дело с финитным объектом...[92]

Кронекер был противником построений в анализе и теории функций с использованием актуальной бесконечности, которые предпринимались в 70–80-х годах как его коллегами, так и учениками. Среди первых можно назвать К. Вейерштрасса, среди вторых  Р. Дедекинда, Г. Гейне, Г. Шварца и, наконец, Г. Кантора. Последнему Кронекер даже помогал поначалу в его работе по теории чисел, однако впоследствии, убедившись в ложном, по его мнению, направлении, избранном молодым ученым, сознательно тормозил публикации по теоретико-множественным проблемам и старался всячески дискредитировать это направление. Нет, однако, смысла представлять Кронекера этаким «коварным злодеем», «затирающим молодых» и «тормозящим прогресс науки»[93]. Его спор со сторонниками бесконечности был довольно принципиальным и не обусловленным какими-то конкретными корыстными личными побуждениями. В 1884 г. в ответе на письмо Кантора, искавшего почву для примирения с влиятельным профессором, Кронекер довольно прямо, но достаточно доброжелательно объяснял свою позицию. Вначале письма Кронекер отводил предположения Кантора, что какая-то личная нерасположенность к нему [94] могла бы быть основой отношения к его работам. Расхождения научные, особенно касающиеся идеалов научного знания, слишком серьезная тема, чтобы сводить ее на чисто обывательское личное соперничество. Кронекер вспоминает понравившееся ему уподобление этих расхождений различию в религиозных взглядах, сделанное С. Ко­ва­лев­ской. И как в случае разных религиозных верований, так и в случае различных взглядов на науку должно не смешивать их с проблемами личных отношений. Чему примером служат, по словам Кронекера, его долголетние добрые отношения с Вейерштрассом, да и с самим Кантором. Что же касается собственно науки, то здесь у Кронекера была собственная позиция. За ней стоял определенный  отрицательный!  философский опыт: «Вы знаете, что я очень рано под руководством К. [95] углубился в изучение философии, после чего, как и он, признал сомнительность всех этих спекуляций и спасся в надежной гавани действительной математики. Что же может быть естественней, что я в этой самой математике старался утвердить ее проявления или ее истины по возможности свободными от всех философских построений»[96]. Далее Кронекер повторяет главную идею своего видения математики: «По этой причине я придерживаюсь того мнения, что в чистой математике все должно быть приведено к учению о целых числах, и я верю, что это всегда будет удаваться. Однако это есть лишь моя вера. Но где это уже удалось, я вижу там истинный прогресс, хотя  или, скорее, потому что  это есть отход к более простому, и еще более потому, что это доказывает, что построение новых понятий по меньшей мере не необходимо»[97]. В самой же математике это приводит к выдвижению вполне определенного лозунга: «Ис­тин­ную научную ценность в области математики я признаю только за конкретными математическими истинами, или, выражаясь острее, «толь­ко за математическими формулами». Только они суть непроходящее, как показывает история математики»[98]. История математики XX столетия показала также, что эти взгляды Кронекера были не просто «ретроградной позицией» ученого, обусловленной его неудачами в области философии, а вполне имеющей право на существование точкой зрения на математику, которую разделяли многие крупные ученые. Сегодня Кронекер считается одним из предшественников интуиционистского направления в математике [99].

Мы уделили так много места взглядам Кронекера потому, что он был отнюдь не одинок в своих взглядах на математику. Прежде всего на его стороне был «король математиков»  великий К.Ф. Га­усс (1777–1855). Именно от него унаследовал Кронекер взгляд на центральную роль теории чисел в математике. «Ма­те­ма­ти­ка есть царица наук,  писал Гаусс,  и арифметика  царица математики. Последняя часто нисходит до оказания услуг астрономии и другим естественным наукам, но ей всегда и везде принадлежит первое место»[100]. Гаусс был также против использования актуальной бесконечности в математике. В 1831 г. в письме Шумахеру, который использовал в своем доказательстве окружность бесконечного радиуса, Гаусс писал: «Что касается Вашего доказательства для 1), то я прежде всего протестую против употребления бесконечной величины как чего-то завершенного, что в математике никогда недопустимо. Бесконечность не нужно понимать буквально, когда речь идет собственно о пределе, к которому сколь угодно близко приближаются определенные отношения, когда другие принимаются безгранично возрастающими»[101]. Другими словами, Гаусс допускает только потенциальную бесконечность в математике.

Сознательным противником использования актуальной бесконечности в науке был выдающийся французский математик О. Л. Коши (1789–1837). Ортодоксальный католик, Коши считал, что атрибут бесконечности может быть отнесен только к Богу. Все творение конечно, как в направлении возрастания, так и в смысле делимости. Классическим здесь был, в частности, вопрос о мировом пространстве. Коши не был согласен с интерпретациями пространства, идущими еще от ньютоновских представлений о пространстве как «чувствилище Бога». Так, в своих «Семи лекциях общей физики», прочитанных в 1833 г., Коши пишет: «Дейст­ви­тель­но беспредельность всегда будет одной из принадлежностей самого Творца, а не творения его. Но мы бы заблуждались, если бы вздумали представить себе под одинаковыми точками зрения обширность материи и беспредельность Божию, если бы полагали возможным рассматривать их как однородные символы. Потому что божественная принадлежность должна быть неделима, как и сам Бог, и даже смешно предполагать, что беспредельность Божия может быть разделена на много частей, которые бы составляли размеры тел и принадлежности созданных предметов»[102]. Понимание пространства у Коши ориентировано на классическое, идущее от Аристотеля представление: пространство неотделимо от тел. «Итак, мы не можем предположить существования пространства без пределов, пространства, которое бы существовало само по себе, независимо от тел, и которое, будучи по природе своей подобно тем, которые занимают тела, было бы, однако, бесконечно, как Бог, и даже делимо до бесконечности. Конечные пространства, которые одни только могут быть осуществлены, суть принадлежности тел, и эти принадлежности точно так же, как и сами тела, не могут быть доведены до бесконечности. Пространство, занятое вселенной, есть и всегда останется конечным, хотя бы даже Бог по своему всемогуществу неопределенно увеличивал бы это пространство, раздвигая его границы новыми творениями»[103]. В частности, бесконечно малая математическая точка есть только абстракция: «Ма­тематическая точка, не имеющая протяжения, осуществляется созданием одного атома. Расстояние, или пространство, ограниченное только одним измерением, есть только отношение между двумя математическими точками. Следовательно, расстояние есть принадлежность системы двух одновременно существующих атомов»[104].

Существование актуально бесконечного множества самопротиворечиво, настаивает Коши и приводит в доказательство парадокс, известный еще Галилею. Если предположить актуально существующим весь натуральный ряд чисел

1, 2, 3, 4, ...,

то квадраты этих чисел 1, 4, 9, 16, ... также будут принадлежать этому ряду и будут составлять лишь часть его. Причем если оценить распределение этих квадратов, то получится:

на 10 первых чисел            3 квадрата

на 100  «                                       10 квадратов

на 1000  «                                    31 квадрат

и т.д. То есть доля квадратов, приходящихся на какой-то начальный отрезок натурального ряда, будет все время убывать:

; ; ; ...

и стремиться к 0. Что, по Коши, противоречит тому, что квадратов столько же, сколько и самих чисел [105].

В «Семи лекциях общей физики» Коши приводит также созвучное его взглядам рассуждение католического богослова второй половины XVIII в. аббата (впоследствии кардинала) Жердиля. Последний принимал как очевидное утверждение о том, что вечность и изменения несовместимы. Отсюда следовало, что вечен только Бог, а Вселенная (и земля, в частности) была когда-то сотворена. Но отрицание вечности Земли «доказывалось» Жердилем и с помощью математики. Если бы Земля существовала вечно, то она сделала бы к настоящему моменту актуально бесконечное количество оборотов вокруг Солнца, что, в силу противоречивости понятия актуально бесконечного ряда чисел, невозможно. «Итак, один Бог бесконечен,  заключает Коши,  кроме Него, все конечно. Духовные существа и существа телесные находятся в конечном числе, и мир имеет свои пределы в пространстве и во времени. Бесконечность, вечность суть божественные принадлежности, присущие только Творцу, и сам Бог не может их сообщить своим творениям, не потому чтобы его могущество было каким-либо образом ограничено, но потому, что тогда будет противоречие в самих словах (про­ти­во­ре­чие логическое), если понятие бесконечности будет придано тому, что имеет способность изменяться»[106]. В мире возможна и действительна, по Коши, только потенциальная бесконечность.

§ 4. Канторовская критика аргументов противников

Кантор резко критиковал взгляды Кронекера и Гельмгольца на природу числа. В особенности его раздражала чисто психологическая основа (счет!) этих построений: «Весьма поучительно убедиться в том, что для обоих этих мыслителей числа должны быть прежде всего знаками, но не знаками, скажем, для понятий, относящихся к множествам, а знаками для единичных вещей, отсчитываемых при субъективном процессе счета»[107]. Кантор считал подобную эмпирическо-психо­ло­ги­чес­кую точку зрения на число разрывом с тысячелетними традициями математики, в особенности античной. Хотя и в античности была одна «секта»[108], которая держалась подобных взглядов. Кантор ссылается здесь на книги «Пир­роновых положений», в которых Секст Эмпирик давал, в частности, критику платоновских представлений о числе. Современную ему эмпирико-позитивистскую тенденцию в интерпретации математического знания Кантор связывал с традицией античного скептицизма. «Впрочем, у обоих ученых явно выступает наружу мотив враждебного отношения к актуально бесконечному, а так как известно, что даже «конечные» иррациональные числа нельзя обосновать с научной строгостью без решительного привлечения к делу актуально бесконечных множеств, то усилия обоих, особенно Кронекера, направлены с неуклонной последовательностью на то, чтобы с помощью искусственных, кажущихся им подходящими вспомогательных теорий сделать совершенно «ненужными» и лишними иррациональные числа, общепринятые со времен Пифагора и Платона [109] вместо того, чтобы исследовать и объяснить их согласно их природе»[110]. Кантор справедливо оценивает подобные взгляды на математику как философскую реакцию: «Мы видим, таким образом, что господствующий теперь академически позитивистский скептицизм, появившийся в виде реакции против чрезмерного канто-фихте-гегеле-шеллинговского идеализма, захватил, наконец, и арифметику, где он старается сделать последние еще возможные для него выводы с крайней последовательностью, могущей стать роковой для него»[111]. Любопытно, как Кантор критикует кронекеровские представления об изначальности «счета», «по­ряд­ковых чисел» с точки зрения своей новой теории: Кронекеру де не удастся описать актуально бесконечный запас точек пространственного и временного континуума, поскольку согласно результату Кантора последний несчетен [112]. Однако ведь и сами эти построения Кантора нужно еще было математически легализовать...

Что же касается взглядов Гаусса, Коши и многих других, отвергавших применение актуальной бесконечности в математике, то Кантор, уверенный в незыблемости собственных трансфинитных конструкций, был здесь непреклонен. В письме к шведскому математику Г. Энестрему от 4.10.1885 Кантор пишет о своем отношении к позиции Гаусса, высказанной в его вышеприведенном письме к Шумахеру [113]: «Я подробно ответил на это указание и отклонил в этом пункте авторитет Гаусса, который во всех прочих отношениях я ставлю так высоко, подобно тому как теперь я отклоняю свидетельство Коши и как в своем сочинении "Основы общего учения о многообразиях" (Лейпциг, 1883) я среди прочих авторов отклонил и авторитет Лейбница, оказавшегося в этом вопросе удивительно непоследовательным»[114]. Все встречаемые возражения против актуальной бесконечности, настаивает Кантор, исходят из ложных предпосылок: или путают актуальную бесконечность с потенциальной, или требуют, чтобы бесконечные множества под­чи­ня­лись свойствам конечных. Мы разбирали уже эти аргументы выше [115].

* * *

«Великим камнем преткновения» (как называет его Кантор), лежащим на пути легализации актуально бесконечных множеств, был издревле парадокс, состоящий в том, что для бесконечных множеств часть становится равной целому. Подобный парадокс мы разбирали, например, говоря о взглядах Коши на бесконечность. Кантор находит убедительные соображения для объяснения этого парадокса, хотя они и существенно опираются на его новое понятие числа, основанное на понятии множества. Для Кантора существует как бы два плана бытия (платонизм!): один  множества, «ре­альность», как называет их сам Кантор, и другой  числа, представляющие собой идеальную реальность, несовпадающую с первой. Число, соответствующее некоторому множеству, конечное или бесконечное, есть уже не само множество, а некая его «про­ек­ция», поэтому равенство этих чисел отнюдь не означает равенство самих множеств. Вот как объясняет это сам создатель теории множеств: «Утверждение, что множеству М соответствует то же самое кардинальное число, что и его составной части М¢, не равносильно высказыванию, что конкретным множествам М и М¢ присуща одна и та же реальность. Действительно, если соответствующие общие понятия М и М¢ [т.е. кардинальные числа, соответствующие множествам М и М¢ В.К.] удовлетворяют условиям равенства, то это отнюдь не противоречит исходному факту, что множество М включает в себя как реальность М¢, так и реальность М¢¢ [имеется в виду М=М¢ÈМ¢¢ В.К.]. Разве какое-нибудь множество и соответствующее ему кардинальное число не представляют собой совершенно различные вещи? Разве первое не противостоит нам в качестве объекта, между тем как последнее есть лишь его абстрактный образ в нашем уме?»[116] Например, множество всех натуральных чисел содержит в себе подмножество всех четных чисел. Кардинальные числа этих множеств равны, т.к. возможно установить между ними взаимно однозначное соответствие

n « 2n.

Однако сами эти множества различны, и множество натуральных чисел «обладает большей реальностью», как выражается сам Кантор, чем множество четных, потому что во множество натуральных чисел помимо четных входят еще и нечетные числа. То, что часть меньше целого, это верно только для конечных множеств. Для бесконечных это положение нарушается. Но, подчеркнем еще раз, Кантор «разрешает» классический парадокс именно за счет удвоения реальности: числа суть особые идеальные объекты, отражающие некоторые свойства множеств, но не тождественные им.

§ 5. Актуальная бесконечность как «объемлющее»

Можно по-разному относиться к теории множеств, но трудно спорить с тем, что Кантору удалось тщательно продумать и обсудить почти все основные аргументы, выдвигаемые pro и contra актуальной бесконечности. Говоря, что к конечной человеческой природе «прилипло очень многое от бесконечного»[117], Кантор имел в виду, что актуальная бесконечность в некотором смысле все-таки «дана» нам. Одно из классических рассуждений, демонстрирующих эту данность, имеющее типично герменевтическую природу, приводится Кантором в его работе «К учению о трансфинитном». «Если не подлежит никакому сомнению то, что мы не можем обойтись без переменной величины в смысле потенциальной бесконечности, то из этого можно следующим образом доказать и необходимость актуальной бесконечности. Для того чтобы подобную переменную величину можно было использовать в каком-либо математическом исследовании, "область" ее изменения должна, строго говоря, быть известной наперед благодаря некоторому определению. Но сама эта "область" не может быть опять-таки чем-то переменным, ибо в противном случае наше исследование не имело бы под собой никакой прочной основы. Следовательно, эта «об­ласть» представляет собой некоторое определенное актуально бесконечное множество значений. Таким образом, всякая потенциальная бесконечность, которую желают использовать строго математически, предполагает наличие актуальной бесконечности [вы­де­лено полужирным мной.  В. К.[118]. То, что использование потенциальной бесконечности предполагает некоторую «область» изменений, некоторое «пространство» возможностей, это несомненно. Однако то, что эта, так сказать, «периферийным» умственным зрением обнаруживаемая «область» представляет собой некоторое определенное актуально бесконечное множество значений («eine bestimmte ak­tual-unendliche Wertmenge»), есть уже слишком обязывающее высказывание. Эта область объемлющего [119], как пространства возможностей самого разворачивания потенциально бесконечных процедур, обладает своими парадоксальными свойствами, и в частности в ней, вообще говоря, уже не действует принцип субъект-объ­ект­но­го разделения. Не случайно парадоксы теории множеств и соответствующие им логические парадоксы («мно­жество всех множеств», «парадокс Рассела» и др.) тесно связаны именно с вопросом самоприменимости понятий. Поэтому познавательный оптимизм Кантора, может быть и оправданный для конца прошлого века, выглядит сегодня достаточно «юве­ниль­ным»: «Эти "об­лас­ти изменения" являются непосредственными основами как анализа, так и арифметики, а потому они определенно заслуживают того, чтобы сделать их предметом особых исследований, как это и сделано было мною в "теории множеств" (theorie des ensemles). Но если, таким образом, актуально бесконечное приобретает в математике права гражданства в форме актуально бесконечных множеств, то становится также неизбежным образование понятия актуально бесконечного числа при помощи надлежащих естественных абстракций, подобно тому как понятия о конечных числах, составляющих материал традиционной арифметики, были получены путем абстрагирования из конечных множеств» [выделено полужирным мной.  В. К.] [120]. Здесь все подчеркнутые нами моменты суть некоторые результаты выбора, сделанного Кантором, суть гипотезы, положенные им в основание своей теоретико-множественной программы в математике в качестве своеобразного научного символа веры. Но как показала история науки, положения этого символа веры были далеко не так очевидны для научного сообщества, как это представлялось Кантору. И то, что эту сферу объемлющего можно выразить на специфическом языке теории множеств. И то, что «аб­ст­рак­ции», используемые в теоретико-множественных конструкциях, достаточно «естественны». И то, что конечные числа получены путем абстрагирования из конечных множеств... Кантор прекрасно чувствовал область, в которую его вели размышления о бесконечном. Однако намеченный им путь и «способ передвижения» по ней были отнюдь не бесспорны.

§ 6. Границы канторовского платонизма

Следует отметить, что во взглядах Кантора на природу числа, при очевидном доминировании платоновской тенденции, вместе с тем существует и определенная двойственность, которую можно временами почувствовать. Так, в достаточно поздней работе 1887 г. «К учению о трансфинитном», которая более чем наполовину посвящена полемике и философски-богословскому обсуждению актуальной бесконечности, в одном из примечаний Кантор приводит в подтверждение своих взглядов текст из «О Граде Божием» Августина. Саму интерпретацию этого текста мы рассмотрим позднее, сейчас же нам интересны некоторые связанные с этим канторовские рассуждения. Кантор подчеркивает, что, согласно Августину, Бог может «некоторым неизреченным образом» созерцать весь бесконечный ряд натуральных чисел как нечто целое. «Од­на­ко,  пишет далее Кантор,  в этом месте можно выдвинуть то возражение, что если мы даже и вынуждены рассматривать множество (n) [всех натуральных чисел.  В.К.] как категорематическое бесконечное [121], то, с другой стороны, этому множеству нельзя сопоставлять соответствующее ему порядковое число w или отвечающее ему кардинальное число , и это не позволено нам по той причине, что вследствие ограниченности нашего существования мы не в состоянии мыслить все бесконечно многие числовые индивиды n, принадлежащие множеству (n) в виде чего-то интуитивно актуального. Хотел бы я, однако, видеть того, кто мог бы точно представить в виде интуитивно различимых все единицы, входящие, например, в конечное число «тысяча миллионов» или даже в значительно меньшие числа. Такового определенно нет сегодня между нами. И тем не менее мы вправе рассматривать конечные числа, даже если они сколь угодно велики, как объекты дискурсивного человеческого познания, а в научном отношении их следует различать по их свойствам. Такое же право у нас и в отношении трансфинитных чисел. Следовательно, на это возражение есть лишь один ответ: условие, которое вы сами не соблюдаете и которому не в состоянии удовлетворить даже по отношению к малым конечным числам, вы осмеливаетесь требовать от нас для бесконечных чисел! Да ставилось ли когда-нибудь столь несправедливое требование человека к человеку? Вследствие самой нашей организации мы лишь изредка располагаем понятием, о котором мы могли бы сказать, что оно является "conceptus rei proprius ex pro­priis"[122], благодаря которому мы восприняли бы и поняли некоторую вещь адекватно, не прибегая к отрицанию, символу или примеру, в том виде, в каком она есть сама по себе. При познании мы, скорее, обучаемся главным образом "conceptus proprius ex communibus"[123], позволяющему нам, исходя из общих предикатов и при помощи сравнений, исключений, символов или примеров, так определить вещь, что она становится совершенно отличной от всякой другой вещи»[124]. Здесь необходимо сделать замечание. Кантор в этой цитате как бы приравнивает познавательный статус конечных и своих трансфинитных чисел. Но, если и можно согласиться с тем, что оперирование с большими числами происходит так же символически, как и с бесконечными множествами, на основании фиксированных свойств чисел, а не на основании интуитивной данности, тем не менее полное «гно­се­о­ло­гическое равноправие» больших конечных чисел и трансфинитов утверждать вряд ли возможно. Хотя интуитивно мы и не можем представить себе «ты­ся­чу миллионов», тем не менее мы можем предложить некоторую конечную процедуру, алгоритм, который с несомненностью может эффективно реализовать это число в принципе, сделать его доступным для оперирования. Одним из таких простейших алгоритмов, между прочим, является уже десятичная запись этого числа. Что же касается трансфинитных чисел, то здесь такой алгоритм в принципе невозможен, т.к. невозможно «сделать наличным» бесконечное множество за конечное число шагов. В возникшей в XX столетии на базе интуиционистских идей конструктивной математике эти интуитивные понятия эффективности, процедуры, алгоритма были уточнены и развернуты в большую содержательную теорию [125]. Прогрессивное развитие современной компьютерной техники, позволяющей совершать огромное количество операций в секунду, позволяет реализовать эти алгоритмы, дает возможность как бы «пощупать руками» эти, как казалось раньше, недостижимые большие числа. Однако в принципе невозможно таким же образом «ощутить» актуальную бесконечность...

Тем самым то, что человек оперирует обычно с большими числами лишь косвенно, в качестве conceptus rei proprius ex communibus, является случайным и непринципиальным моментом, пре­одолеваемым наукой и современными технологиями. И с другой стороны, оперировать с актуальной бесконечностью непосредственно, как с conceptus proprius ex propriis, вероятно, не удастся никогда в силу той самой «конечности нашего рассудка», утверждение которой столь раздражало Кантора. С актуальной бесконечностью мы вынуждены оперировать символически и, так сказать, партикулярно, т.е. исходя лишь из некоторых известных нам ее свойств, никогда не будучи уверенными в полноте этих свойств. Актуальная бесконечность есть, по определению самого Кантора, некоторая Ding für sich, вещь-для-себя [126]. И эта вещь-для-себя никогда не становится вещью-для-нас. Мы познаем ее только на основании ее, так сказать, «проявлений» и «внешних» свойств. Уже с самого возникновения новоевропейской математики в XVII столетии, эта особая черта новой математической методологии характерно проявилась при работе с новыми актуально бесконечными конструктами (бесконечными рядами, инфинитезимальными дифференциалами): математика как бы уподоблялась здесь естественным (физикалистским) наукам, ибо она начинала оперировать со своими объектами неким «несобственным» образом, исходя из некоторой практически всегда частичной совокупности свойств своеобразной Ding für sich. Я уже писал об удивительной близости этой методологии центральной в локковской теории познания концепции номинальной сущности [127].

Обсуждаемая канторовская цитата показывает, вместе с тем, что платоновские симпатии создателя теории множеств, в особой форме христианизированного платонизма (числа существуют в бо­жест­венном уме), имели, однако, свои границы. Эти границы навязывались самим предметом рассмотрения  актуальной бесконечностью  и были уже давно опознаны соответствующей традицией «при­ру­че­ния» этого необычного объекта познания. Признание Кантора в том, что с актуальной бесконечностью мы вынуждены оперировать как с conceptus rei proprius ex communibus, есть для нас одно из проявлений тех начал в теории множеств, которые привели в XX столетии к развитию формалистской концепции математики.



Глава III

Философия математики у Кантора:
между «Свободой математики»
и «Hypotheses non fingo»

§ 1. «Сущность математики заключается в ее свободе»

В этой главе мы специально обсудим канторовскую философию математики. Несмотря на то, что выше уже приводилось немало цитат, прояснявших взгляды Кантора в этом отношении, все же его философия математики  и философия науки вообще  представляет собой чрезвычайно важный для нашей темы комплекс взглядов, который необходимо обсудить отдельно. Эти взгляды интересны и сами по себе, но в особенности в связи с теорией множеств.

Если многие математики прошлого века (как, например, Кронекер) и настоящего не любили и боялись связывать математику и философию, то для Кантора, напротив, эта связь была самоочевидной. Он высказывался по этому поводу постоянно, многоречиво и определенно. Так, в 1884 г., отвечая на рецензию (поло­жи­тель­ную) его ранних работ по теории множеств французского математика Жюля Таннери, Кантор писал: «Я чувствую себя обязанным г-ну Таннери за то, что в различных местах его критического обзора он придает моим исследованиям философское и даже метафизическое значение; я рассматриваю это как похвалу и честь. Действительно я не принадлежу к числу тех, кто из-за различных неудач, постигших метафизику вследствие ошибок некоторых ее представителей, особенно в нынешнем и прошлом столетиях, невысоко ценит эту науку. Я считаю, что метафизика и математика по праву должны находиться во взаимосвязи и что в периоды их решающих успехов они находятся в братском единении. Затем, как показывала история до сих пор, к несчастью, между ними, обычно очень скоро, начинается ссора, которая длится в течение ряда поколений и которая может разрастись до того, что враждующие братья уже не знают, да и не хотят знать, что они всем обязаны друг другу»[128].

Нужда в философском обосновании математических построений проявилась в особенности в канторовской борьбе за легализацию его трансфинитных конструкций. Многие его работы, как мы уже отмечали, представляют собой смесь математических и философских параграфов, что, конечно, очень раздражало в большинстве своем позитивистски настроенную научную среду его (да и, наверно, любого) времени. Таковой является и работа «Основы общего учения о многообразиях» (1883), из которой мы уже приводили немало характерных цитат. В ней Кантор обсуждает также и основные пункты своей философии математики. Говоря о реальности чисел, Кантор отмечал, что понимает это в двух смыслах. Эти два смысла являются определяющими и в отношении любых идей (или общих понятий). Числа можно рассматривать, с одной стороны, как существующие в нашем рассудке, со всеми их соответствующими свойствами, как в-себе, так и по отношению к другим понятиям. Такую реальность чисел Кантор называет интрасубъективной или имманентной реальностью [129]. Но, кроме того, числа можно рассматривать и как отображение «внеш­него мира», поскольку они выражают числовую определенность природы и ее процессов. Причем, что было для Кантора очень важно и что он настойчиво подчеркивал: определенность как через конечные, так и через бесконечные (трансфинитные) числа. Этот второй вид реальности чисел Кантор и называет транссубъективной или транзиентной реальностью. Классический философский вопрос: как же соотносятся эти две реальности? «При вполне реалистической, но в то же время и не менее идеалистической основе моих размышлений для меня не подлежит никакому сомнению, что оба эти вида реальности всегда совпадают в том смысле, что какое-нибудь понятие, принимаемое за существующее в первом отношении, обладает в известных, даже бесконечно многих отношениях и транзиентной реальностью. Правда, установление этой последней по большой части принадлежит к самым трудным и утомительным задачам метафизики и часто должно быть оставлено до тех времен, когда естественное развитие одной из прочих наук раскроет транзиентное значение рассматриваемого понятия»[130]. Это, по-своему выраженное тождество мышления и бытия, как известно из истории философии, можно понимать разным образом. Как же понимает его Кантор? Он делает следующие пояснения к разбираемому месту: «Это убеждение в основном совпадает как с принципами платоновской системы, так и с одной существенной чертой системы Спинозы». Для объяснения первого тезиса Кантор дает цитату из целлеровской «Философии греков»: «Только познание при помощи понятий может доставлять (по Платону) истинное знание. Но поскольку нашим представлениям присуща истина  эту предпосылку Платон разделяет с другими (Парменид),  постольку предмету их должна быть присуща действительность, и наоборот. То, что можно познать, есть; того, чего нельзя познать, нет; и в той же мере, в какой нечто есть, оно и познаваемо»[131]. Что же касается Спинозы, то Кантор ссылается на теорему из «Этики»: «Порядок и связь идей суть те же, что и порядок и связь вещей» часть II, теорема VII). Лейбниц, по мнению Кантора, также придерживался аналогичного теоретико-познавательного принципа. Лишь с развитием в новейшее время эмпиризма, сенсуализма и скептицизма и в особенности после разработки кантовской теории познания источник знания и достоверности стали искать в чувственном познании или в его априорных формах. «По моему убеждению,  пишет Кантор,  эти элементы вовсе не доставляют надежного познания, ибо последнее может быть получено лишь с помощью понятий и идей; внешний опыт может, самое большее, дать лишь толчок к созданию этих идей, по существу же они образуются при помощи внутренней индукции и дедукции, как нечто, что до известной степени уже лежало в нас и лишь было пробуждено и доведено до сознания»[132].

Высказывая все это, Кантор описывает свои философские убеждения, в которые с необходимостью входит определенный элемент веры. Для него не служит тайной, что как близкие, так и противоположные ему философские воззрения суть не результат некоторого научного вывода, а представляют собой конкурирующие в истории культуры философские программы, борющиеся за выживание с бесконечной изобретательностью. Кантор лишь описывает, таким образом, свои философские ориентации. Как ни различны сами по себе объективный идеализм Платона, пантеизм Спинозы и монадология Лейбница, для Кантора во всех них важно одно: обоснование «непостижимой эффективности»[133] математического знания. Связь имманентной и транзиентной реальности чисел и понятий служит базисом для существования науки вообще и математики в частности: «Эта связь обеих реальностей имеет свой собственный корень в единстве всего, к которому мы сами принадлежим. Указание на эту связь имеет здесь целью вывести отсюда одно важное, на мой взгляд, следствие для математики, а именно что последняя при развитии своих идей должна считаться единственно лишь с имманентной реальностью своих понятий и поэтому не обязана вовсе проверять также их транзиентную реальность. В силу этого исключительного положения, отличающего ее от всех других наук и объясняющего сравнительную легкость и отсутствие принуждений в занятии ею, она заслуживает совершенно особенным образом имени свободной математики  название, которое, будь мне предоставлен выбор, я дал бы охотнее, чем ставшее обычным наименование «чистая» математика»[134]. Математика, по Кантору, свободна в том смысле, что для законного введения математического понятия достаточно лишь его «легаль­нос­ти» внутри самой математики. Последнее означает, что: 1) понятие должно быть непротиворечивым, и 2) необходимо определить связи этого понятия с уже существующими математическими конструкциями. Этого достаточно. Как только это осуществлено, можно законно работать с этим понятием в математике, можно его изучать, развивать соответствующие теории. Никакие вопросы, связанные с обсуждением реальности этого понятия в физикалистском мире, не касаются, по Кантору, собственно математической деятельности. В то же время в этой свободе нет никакой угрозы науке. Опыт математики, подчеркивает Кантор, показывает, что произвол в образовании понятий, который будто бы разрешается здесь, на самом деле ничтожен. Новый математический конструкт связан со всем корпусом математического знания. Если этот конструкт слишком искусствен, неплодотворен, то при работе математика это вскоре обнаруживается и его отбрасывают как непригодный. Гораздо большая опасность заключена, по Кантору, во всякого рода внешних ограничениях математическому творчеству. Если бы Гаусс, Коши, Абель, Якоби, Дирихле, Вейерштрасс, Эрмит и Риман должны бы были всегда подвергать свои новые математические идеи метафизическому контролю, то современная теория функции никогда не была бы построена. Созданная как свободное творение человеческого разума [135], эта теория через ее эффективное применение в механике и астрономии уже частично доказала свое транзиентное значение. Внешние ограничения математического творчества не имеют никакого основания в самой природе науки, настаивает Кантор. «Ведь сущность математики заключается именно в ее свободе»[136].

Эти взгляды удивительно перекликаются с господствующим самоощущением в сегодняшней математике. Математика в XX в. стала в высшей степени формальной наукой. Она занимается не исследованием природы, а исследованием формальных структур, которые она сама же и вводит [137]. Поэтому ее и нельзя относить к естествознанию. Но если сегодня это  господствующее мнение, то Кантору нужно было еще объяснять и доказывать эту точку зрения. Собственно, Кантор, его теория множеств, вся его научная деятельность и были одним из решающих моментов, сформировавших подобную точку зрения. Но парадокс состоит в том, что именно Кантор и не «вкладывается» целиком в эту точку зрения. Провозглашая свободу математики от всякой метафизики, он в то же самое время посвятил десятки страниц именно метафизическому, естественнонаучному, философскому и даже богословскому оправданию теории множеств! Издателям его работ в математических журналах приходилось решать задачу: как уговорить Кантора убрать из его трудов философские рассуждения. Конечно, в этом сказывался и характер самой личности Кантора: волевой, целеустремленный, с неудержимым стремлением к успеху, настойчиво ищущий подтверждения своей точки зрения во всех доступных ему областях... Г. Мешковски, обсуждая эту парадоксальную судьбу канторовского научного наследия, писал: «К трагическим моментам этой, столь богатой разочарованиями жизни ученого, принадлежало и то, что сам Кантор твердо держался платоновских представлений на отношение математики к метафизике. Он не видел того, что как раз его исследования должны были послужить поводом к некоему изменению характера математической мысли»[138].

Но помимо личных особенностей Кантора, «запе­чат­лев­ших» научную судьбу теории множеств, есть и объективные причины, связанные с природой самой математики, которые неожиданно и выпукло выступили в дискуссиях о теории множеств. «Сущность математики заключается в ее свободе». Однако как понимать саму свободу? Значит ли это высказывание, что математика может брать любую, сколь угодно искусственную абстрактную конструкцию и изучать ее свойства? История математики показывает, что так никогда не было. Что связь математики и «жизни» гораздо теснее. Что все на первый взгляд столь далекие от эмпирии конструкции  и бесконечно малые дифференциалы Лейбница, и бесконечно удаленные точки Дезарга, и комплексные числа, и идеальные числа Куммера, и аппарат обобщенных функций  были всегда либо прямым ответом на некоторые задачи «прикладной математики», либо создавались специально, чтобы осмыслить некоторые уже «созревшие» внутриматематические проблемы. Никогда эти новые конструкции не брались, как говорится, «с потолка», произвольно. Сам Кантор также считал, что сами условия математической деятельности «представляют лишь ничтожный простор произволу»[139]. Но весь вопрос в том и состоит  какой произвол считать еще ничтожным, а какой уже нет и, следовательно, считать недопустимым. Вся весомость этого вопроса обусловлена также и природой самой свободы. Что есть свобода? Или это есть голый произвол, или же так называемая положительная свобода, служение высшим ценностям? И если последнее, то где же здесь место собственно свободе, как независимости, спонтанности, творчеству? Вопрос о природе свободы есть глубоко религиозный вопрос.
Он прямо и состоит в том, насколько бытие человеческого духа независимо от всей природной детерминации, и, следовательно, вопрос этот обращает внимание к тому, что находится вне природы, что низводит бытие последней до условного... Здесь возможны разные ответы, и XX в. продемонстрировал это во всей полноте: от традиционно христианских концепций свободы до агрессивно-ате­ис­ти­ческих (марксизм, сартризм). Сказав «сущность математики состоит в ее свободе», Кантор volens volens вызвал все эти «про­клятые вопросы» о свободе, ставшей одним из главных  если не наиглавнейшим  предметов философского осмысления в XX столетии [140]. В этом смысле канторовская теория множеств по своему духу оказывается очень созвучной общекультурному модернистскому направлению, возникшему на рубеже XIXXX вв. и достигшему поры своей зрелости в период до II Мировой войны (мо­дер­низм в искусстве, марксизм в социологии, фрейдизм в психологии и т.д.).

Но парадокс, повторяю, заключался в том, что, призывая к свободе математики, сам Кантор отнюдь не считал эту свободу абсолютной и тщательно старался выявить связи математики с философией и богословием. В этом смысле математика конца XX в., руководствующаяся в основном чисто формалистским «ус­та­вом», оказывается, конечно, беднее того ее образа, который вдохновлял творца теории множеств. Современная математика взяла у Кантора только формальное и поверхностное, оставив весь исходный платоновский пафос его теории за пределами науки...

Канторовское видение математики было богаче и... противоречивее. Призывая к «свободе математики», он в то же время ориентировался на платоновские традиции в понимании науки. Однако, платонизм не знает свободы, вообще говоря. Платонизм в математике есть в)идение (qewr0ia), умозрение идеальных структур [141]. Это видение или дано, или нет. Мы привели выше немало цитат, в которых Кантор говорит об этих «органических единствах единиц», представляющих умственный образ множества. Но речь идет постоянно о бесконечных множествах, когда это видение становится в высшей степени проблематичным. И тогда в дело вступает конструктивная часть разума. С помощью символов, аналогий, отрицаний разум старается овладеть своим предметом. Разум действует здесь как бы вслепую, как бы ощупью, надеясь только на свою внимательность и последовательность. Здесь как раз и проявляется свобода, настойчивая и изобретательная. Именно в этом ее сила, и именно в этом ее соблазн... К этой двойственности Кантора мы вернемся еще позднее.

То, что свобода математики отнюдь не означает произвола, подчеркивалось Кантором неоднократно. Одно из ярких свидетельств этого рода есть подбор эпиграфов в работе «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (1895). Исследователи справедливо отмечают нарочитую акцентированность этих эпиграфов. К этому позднему, наиболее полному и ясному изложению своей теории множеств Кантор предпосылает три эпиграфа. Первый есть знаменитое «Hypotheses non fingo» И.Ньютона. Это выражение взято из «Общего поучения» в конце «Математических начал натуральной философии». Ньютон, дав в своей книге чисто математическое, «позитивистское» описание работы силы тяготения, признается в конце ее: «Причину же этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю [выделено мной.  В.К.[142]. Ясен и смысл, который хочет придать Кантор, знаменуя свое сочинение этим эпиграфом: теория множеств есть не гипотетическое произвольное построение, а теория, отвечающая самой природе вещей, самой истине. Дж. Дау­бен справедливо соотносит [143] этот эпиграф и с конкретным частным моментом, а именно с критикой трансфинитных конструкций итальянского математика Д. Веронезе, данной Кантором в этой же работе. Веронезе предложил свое определение равенства трансфинитных порядковых чисел. Кантора не удовлетворяет это новое определение именно потому, что оно оставляет место произволу. Поэтому бесконечные числа Веронезе несостоятельны как математический объект, они «придуманы» и «существуют лишь на бумаге»[144]. Про свое же собственное определение Кантор пишет: «...кри­терий равенства (4) [равенства порядковых типов.  В.К.] вытекает с абсолютной необходимостью из понятия порядкового типа, а потому не допускает никакого изменения. В непонимании этого состоит главная причина грубой ошибки, содержащейся в труде господина Д. Веронезе «Grundzuge der Geometri...»[145].

Следующий эпиграф взят из Scripta in naturali et universali philosophia Фрэнсиса Бэкона (в оригинале эпиграф также по-ла­ты­ни): «Мы приписываем законы разуму или вещам не по нашему произволу, а, как добросовестные писцы, слушаем и записываем то, что дает и диктует нам голос природы»[146]. Революционный пафос философии Бэкона, с ее призывами «отвернуться от мертвой схоластики», от «идолов» и обратиться к изучению самой природы, был очень близок Кантору, как в смысле особенностей личной психологии, так и в смысле превратностей научной карьеры. На своей научной судьбе он убедился, как непросто было изменить устоявшиеся веками мнения по поводу бесконечности, принимавшие порой характер непоколебимых символов веры. Вместо того, чтобы переносить на трансфинитные числа свойства конечных, следовало обратиться к изучению свойств бесконечных множеств, «слушать» то, что «диктует природа». Ниже мы увидим, правда, что Кантор считал теорию множеств продиктованной ему даже самим Богом... Но эта перекличка мыслителей, отдаленных друг от друга дистанцией в два столетия [147], этот возрожденческий пафос, дышащий со страниц канторовских сочинений и веющий в его столь бурной духовной жизни,  не случаен. Он вполне характерен для того революционного переворота, который совершила теория множеств в математике XX столетия... И тем не менее, несмотря на весь возрожденческий титанизм, пронизывающий жизнь и творчество Кантора, в этом эпиграфе ему было важно подчеркнуть неслучайность, не-произвольность новых математических конструкций как необходимое условие их научной ценности. Свобода, как сущность математики, в правильных, соответствующих объективной истине научных творениях должна была обретать свою границу, свою необходимость, свою меру.

Третий эпиграф мы обсудим позднее.

§ 2. Иерархия типов познания (письмо к Т. Эшеру)

Кантор был достаточно широко образованным человеком, начитанным как в философии, так и в теологии. Хотя трудно не заметить, что начитанность эта была в достаточной степени дилетантской. Так, к примеру, говоря о платонизме, он ссылается в основном на труд Э. Целлера «Философия греков в ее историческом развитии», а не на оригинальные работы Платона или платоников. Если бы Кантор был ближе знаком с философией платонизма, в особенности с работами по философии и теологии чисел Плотина и Прокла, несомненно, что он нашел бы здесь много близкого своим представлениям о математике [148]. Однако этот все же достаточно широкий культурный горизонт позволил Кантору сформулировать свое видение математики и науки вообще, сориентированное по отношению к большим философским и богословским темам. Мы уже видели не раз, в частности, сколь важна была для Кантора платоновская традиция в философии. Более целостная картина соотношения науки, философии и теологии дана им в письме от 1 февраля 1896 г. к доминиканскому священнику в Риме Т.Эшеру, который специально интересовался математическими трудами Кантора. О предпосылках этой переписки с католическими богословами мы будем специально говорить ниже. Сейчас нам важно только описать общую экономию познания, как она понималась Кантором.

Кантор фиксирует в письме к Эшеру три главных момента, характеризующих его философские воззрения:

Во-первых, он указывает на «нерасторжимую связь, которая существует между метафизикой и теологией; поскольку, с одной стороны, последняя есть как бы путеводная звезда, которой первая руководствуется в своих путях и от которой она получает свет, когда отказывают естественные и обычные источники света; с другой стороны, для своего научного развития и представления теология нуждается в общей философии, которая, таким образом, стоит к ней в отношении служанки»[149]. Это влечет за собой следующие следствия:

а) в метафизических дискуссиях неизбежно участвует теология;

b) каждый действительный прогресс в метафизике усиливает возможности и даже, при случае, может углублять понимание таинств веры. «Всякое увеличение нашего понимания в области тварно-возможного должно вести, поэтому, к некоему более обширному богопознанию»[150].

с) и обратно, каждая ошибка в метафизике заключает в себе большую опасность для теологии, поскольку последняя касается фундаментальных и определяющих вещей. Кантор приводит в подтверждение своих слов несколько цитат из Фомы Аквинского, в частности: «Error in creaturis inducit in divinorum errorem»[151].

Кантор в особенности выдвигал этот последний тезис (с). Это был его «козырь» в разговоре с богословами: теория множеств учит лучше понимать Священное Писание. «Если, например, совершенно определенно и достоверно было показано, что повсеместно предлагаемое до сих пор учение об актуально бесконечном в творении (а именно, что оно ни метафизически, ни физически невозможно) основывалось на некой очевидной ошибке (которая была уже у Аристотеля), то не следует более удивляться и тому, что ошибка в систематической дискурсивной теологии (которая ведь состоит не исключительно лишь из незыблемых истин веры и таинств) как бы сама себя разоблачает. Я хочу объяснить то, что я здесь имею в виду, на простом примере. Сказано в Книге Премудрости Соломона, гл. 11, ст. 21 «Omnia in pondere, numero et mensura disposuisti»[152]. Здесь не стоит «in numero finito»[153]. Поскольку же доказана непротиворечивость кардинальных чисел и трансфинитных ординальных типов, то они также подразумеваются в этом месте текста и поэтому его не следует использовать как аргумент против «numeris infinitus»[154], как это, к сожалению, часто происходит»[155]. Прежде чем обсуждать эти в высшей степени интересные рассуждения, мы закончим изложение письма Кантора.

Во-вторых, Кантор подчеркивает, что отношение зависимости, подчиненности и «служения», существующее между теологией и метафизикой, как бы отображается и на отношения метафизики к естественным наукам и математике. «На долю метафизики выпадает обоснование принципов математики и естествознания; она рассматривает их в качестве своих детей, слуг или помощников, с которых она не должна сводить глаз, постоянно стеречь и контролировать, как пчелиная царица, восседающая в каком-нибудь улье и посылающая тысячи старательных пчел в сад, чтобы они собирали повсюду из цветов сок и потом вместе под ее надзором перерабатывали бы его в отличный мед, и которые должны приносить из отдаленных царств телесной и духовной природы строительные камни для окончания ее собственного дворца»[156].

И в-третьих, Кантор подчеркивает глубоко метафизический характер его собственной математической теории. «Общее учение множеств, о принципах которого Вы можете судить как по сочинению «К учению о трансфинитном», так и по первой статье новой работы «К обоснованию учения о трансфинитных множествах», полностью принадлежит метафизике. Вы легко убедитесь в этом сами, если оцените степень всеобщности категорий кардинального числа и ординального типа, этих основных понятий теории множеств, и, кроме того, обратите внимание на то, что мысль в них абсолютно отвлечена <vollig rein ist>, так что фантазии не предоставлено ни малейшего места. В этом смысле образы, которые я использую при случае, как это делает каждый метафизик, для уяснения метафизических понятий, ничего не меняют, как и то обстоятельство, что вышедшие из-под моего пера работы были изданы в математических журналах, ничуть не меняет их метафизического характера и содержания»[157].

Это любопытное письмо позволяет нам представить теорию познания Кантора в виде следующей схемы:

 

 

Эта схема составлена нами прежде всего, чтобы подчеркнуть иерархичность типов познания у Кантора. Теология есть «пу­те­вод­ная звезда» метафизики, а последняя  «госпожа» наук. Это влияние высших типов познания на низшие выражена сплошными стрелками. Но, как и всегда, подобная зависимость в одном направлении порождает и обратную зависимость, по типу «метода гипотез» или «обратных задач» (пунктирные стрелки). То есть какие-то фундаментальные изобретения в науке с необходимостью корректируют наши представления и в метафизике, а положения метафизики, в свою очередь, влияют и на теологию (как утверждает Кантор в пункте b). Положение математики в канторовской схеме несколько противоречиво. С одной стороны, он зачисляет ее в науки, подчиненные метафизике («во-вторых»). С другой же  теория множеств сама оказывается частью метафизики («в-треть­их»). Можно принять здесь компромиссное решение: математика, в целом относясь к сфере науки, отдельными своими теориями, благодаря их высокой абстрактности и всеобщности («чистая математика»), во всяком случае такими, например, как теория множеств, попадает уже в область метафизики [158]. Из канторовских рассуждений можно сделать следующие выводы:

1. Наука вообще и математика в частности, по Кантору, теологически обусловлены. Эта обусловленность может быть не прямой, а через посредство метафизики, но все же она существует, и теология выступает здесь, как и для метафизики, «путеводной звездой». Для математики, впрочем, во всяком случае для таких абстрактных дисциплин, как теория множеств, это верно в особенности. Здесь уже математика не имеет между собой и теологией посредника  метафизику. Она сама есть определенная метафизика и согласно общей схеме непосредственно зависит от теологии.

2. Всякое увеличение нашего понимания в области тварно-воз­мож­ного должно вести к некоему более обширному богопознанию, утверждает Кантор. Речь идет о том обратном влиянии, «снизу вверх», которое обозначено на нашей схеме пунктирными стрелками. Термин «тварно-возможное» (das Gebiet des Creatürlich-mög­li­chen) употреблен здесь Кантором не случайно. Изучение тварного относится, собственно, к естественным наукам. В то же время вся история христианского богословия  и в последние два века в особенности  показывает, что прогресс научного знания помогает лучше понимать священную историю и Библию. Многое из того, что прежде считалось чудесным и приписывалось Богу, находит свое естественное объяснение в науке [159]. Собственно же чудесное, как прямое вмешательство Бога в историю, сосредоточивается в существенных пунктах христианского учения: исполнение пророчеств как принцип единства священной истории, факты духовного обращения людей, воскресение Христово, церковные таинства и т.д. Особенного внимания заслуживает, конечно, сближение сегодняшней научной космологии с библейской картиной творения [160].

Говоря о возможном («область тварно-возможного»), Кантор имеет в виду именно математику. Математика направлена не на изучение «физической» реальности. Ее объекты суть абстрактные мысленные конструкции. Математика в этом смысле свободна, как обсуждали мы это выше. Однако эта свобода не тождественна произволу. Математические объекты должны, по Кантору, принадлежать сфере возможного. Это значит, что они должны быть логически непротиворечивы. Только в этой сфере осуществляет свои построения математика. И логической непротиворечивости вполне достаточно для легальности математического существования. Математик может не беспокоиться об онтологических аспектах существования («транзиентной реальности») данного понятия. Всякая логически непротиворечивая конструкция, связанная определенным образом с традиционными математическими понятиями, имеет право на существование в математике. Это было исходно основным убеждением Кантора. Поэтому можно представить себе шок, который он испытал при открытии парадоксов, связанных с самим понятием множества, таким, казалось бы, простым, очевидным и даже примитивным. Но об этом ниже.

Влияние науки и метафизики на теологию при всей своей несомненности, удостоверенной историческим опытом, представляло для христианского богословия всегда определенную проблему и опасность. Опасность состояла в том, что можно было заменить богопознание, основанное на прямом общении с Богом, на откровении, чисто интеллектуальными спекулятивными конструкциями, грубо говоря, «выдумками» о Боге. Широко развернутой системой подобного спекулятивного богословия являются, например, построения Николая Кузанского. Они возникли не на пустом месте. Католическая схоластика традиционно испытывала пиетет перед наукообразным «философским» богословием, претендующим строить свою систему по типу дедуктивных научных и философских теорий. Восточная христианская традиция была здесь всегда ближе к святоотеческому типу богословствования, методологически ориентированному на опыт веры, открытый Церкви, всегда сопряженному со сдержанным и трезвым отношением к чисто философским, интеллектуальным конструкциям, направленному на их критическую оценку соборным сознанием Церкви.

Так что Кантор, говоря о влиянии науки и математики на богопознание, находился здесь в рамках определенной традиции, которая была ему достаточно известна. Это в свою очередь беспокоило и католических богословов, вызывало с их стороны желание разобраться в теории множеств, оперирующей понятием актуальной бесконечности, традиционно приписываемым только Богу. Тот факт, что Кантор на основании своей чисто математической теории «по­правлял» традиционное тысячелетнее понимание вышеприведенного отрывка из Книги Премудрости Соломона, в высшей степени настораживал. Если теория множеств была верна, если актуально бесконечные числа действительно существуют, то тогда пришлось бы пересмотреть не только понимание этого фрагмента, но и многих богословских положений, опирающихся на конечность твар­ного...

На самом деле положение было еще сложнее. Научное сообщество в большинстве своем не приняло сразу канторовской теории множеств. Лишь отдельные друзья разделяли представления Кантора об актуально бесконечном. Это непонимание тяжело переживалось Кантором и, как считают некоторые, послужило основной причиной его психической болезни (с 1885 г.). Волевая, активная натура Кантора не могла пассивно смиряться с этим непониманием. Кантор пошел «в наступление»: он начал старательно искать и подбирать подтверждения своей точке зрения на бесконечное и в философии, и в богословии. Эти небольшие фрагменты  поскольку все-таки традиционно в европейской культуре актуальная бесконечность считалась ни логически, ни онтологически невозможной  были для Кантора драгоценны. Они должны были косвенно доказывать реальность его математических построений. Однако сам выбор, а порой и интерпретация этих фрагментов были отнюдь небескорыстны: они направлялись убежденностью Кантора в истинности его математической теории. Они игнорировали общепринятые и наиболее авторитетные интерпретации, выдвигая маргинальные на первый план. Короче, здесь работал традиционный механизм смены культурной парадигмы, который логически обычно представляет собой некоторый герменевтический круг. Для того, чтобы утвердить новые представления, ищут схожего в старом. И несмотря на то, что это подобное старое оказывается второстепенным, обосновывают состоятельность нового именно на связи с этим старым. Правда, старое при этом приходится переакцентировать, выдвинув на первый план новые значения. Создается новое видение старого. История переписывается: старое существовало, чтобы существовало утверждаемое новое. Тем самым новое утверждает себя в настоящем, утверждая себя одновременно и в прошлом. И в этой, по видимости, респектабельной перекличке нового и подобного старого происходит на самом деле, агрессивное и тотальное утверждение нового [161].

Так, Кантор дает новое теологическое понимание фрагмента из Книги Премудрости Соломона. Причем это приводится им как пример влияния науки (математики  метафизики) на теологию. Однако это было бы верно только при условии, что верна теория трансфинитных чисел. Но это-то и стояло под вопросом!.. В диалоге с теологией канторовская математика претендовала поправлять представления о Боге. Естественно, что богословы были обеспокоены: не ведут ли эти трансформации в истолкованиях к деформации самой христианской доктрины? Не ведет ли теория множеств Кантора в теологии к языческим «Первоосновам теологии» Прокла?

§ 3. Три аспекта актуально бесконечного в истории мысли

В связи с вышеизложенным вполне понятна необходимость той классификации употребления понятия актуальной бесконечности, которую Кантор предлагает в письме к Энестрему, уже однажды цитированному нами. Актуальную бесконечность, замечает Кантор, можно рассматривать в трех главных отношениях:

в Боге, и в этом случае Кантор называет ее абсолютным;

in concreto, т.е. в природе, и в этом случае она называется трансфинитным, и

in abstracto, то есть в человеческом познании, в форме трансфинитных чисел или более общих трансфинитных порядковых типов.

В зависимости от принятия или отвержения возможности существования в каждом из этих трех отношений, всего получается 8 возможностей, которые на удивление, как подчеркивает Кантор, почти все реализовались в истории мысли. Оставляя в стороне первое, чисто богословское измерение, мы имеем для вторых двух следующую таблицу возможностей:

 

 

in concreto

in abstracto

I

-

-

II

Å

-

III

-

Å

IV

Å

Å

В качестве сторонников первой точки зрения, которые отвергают существование актуальной бесконечности как в природе, так и в человеческом мышлении, Кантор называет католических богословов Жердиля и Муаньо, Коши, который ссылается на Жердиля, Гаусса, а также «все так называемые позитивисты и их родня»[162]. Мы уже говорили о возражениях против бесконечности Гаусса и Коши, Жердиля. Взгляды Муаньо мы обсудим позднее.

Среди тех, кто поддерживает существование актуальной бесконечности в природе, но отрицает ее in abstracto, Кантор называет, в частности, Декарта, Спинозу, Лейбница, Локка. Зачисление всех этих философов в одну группу достаточно спорно. Про Декарта вряд ли можно сказать, что он признавал существование актуальной бесконечности в природе. В этом вопросе Декарт проявлял достойную удивления сдержанность и скорее склонялся оставить вопрос открытым, чем делать окончательные заключения. В «Первоначалах философии», например, он пишет: «А поскольку нельзя вообразить себе такое число звезд, чтобы думать, что Бог не может создать еще большее, мы будем предполагать их число также неопределенно большим; то же самое относится и ко всему остальному [выделено мной.  В. К.[163]. Включение во второй раздел Спинозы, вообще говоря, справедливо. Пантеизм Спинозы наделяет и природу божественными атрибутами, а согласно Теореме 8 из «Этики»: «Всякая субстанция необходимо бесконечна»[164]. С другой стороны, однако, именно пантеизм Спинозы и является определенным препятствием для подтверждения точки зрения Кантора. Создатель теории множеств не хочет говорить об абсолютном, т.е. об актуально бесконечном в Боге. Он хочет остаться на почве науки, т.е. говорить в пределах математики и естествознания. Но, ведь, говоря о бесконечности природы у Спинозы, мы говорим, одновременно, и о божественной бесконечности... Это сопряжение метафизических взглядов Кантора с пантеизмом всплывет потом в переписке с кардиналом Францелином (см. гл. IV, § 6). Впрочем, Кантор и сам несколько ниже в том же разбираемом нами письме к Энестрему обращает внимание на это двусмысленное и недопустимое употребление понятия бесконечности у Спинозы: «Часто происходит смешение другого рода, а именно двух форм актуально бесконечного, причем смешивается трансфинитное с абсолютным. Между тем эти понятия явно различны в том отношении, что первое следует мыслить, конечно, бесконечным, но все же доступным дальнейшему увеличению, тогда как последнее приходится считать недоступным увеличению, а потому математически неопределимым. С этой ошибкой мы встречаемся, например, в случае пантеизма, и она образует ахиллесову пяту Этики Спинозы...»[165].

Актуальная бесконечность in concreto у Лейбница  это та бесконечная актуальная делимость мира, обусловленная его монадической структурностью, о которой мы говорили выше [166]. Далее Кантор называет Дж. Локка. Трудно согласиться, однако, что Локк признает возможность бесконечности в природе. Все идеи у английского философа происходят из ощущения и рефлексии. Но ни первое, ни второе не дает интуиции актуально бесконечного. Всякая идея бесконечно растущего или бесконечно делимого (т.е. только потенциальная бесконечность) сводится в конце концов к идее числового ряда. «...Но действительно положительной идеи бесконечного числа нет. Кажется очевидно, что сложение конечных вещей (а таковы все величины, положительные идеи которых есть у нас) никогда не порождает идеи бесконечного иначе, нежели это делает число; а последнее, состоящее из прибавлений друг к другу конечных единиц, вызывает идею бесконечного только благодаря тому, что мы способны постоянно увеличивать сумму и делать такие же прибавления, ни на йоту не приближаясь к концу этого процесса»[167]. И в пространстве, и во времени,  во всем Локк признает только потенциальную бесконечность: «Ибо только то бесконечно, что не имеет пределов, и только та идея есть идея бесконечности, в которой наши мысли не могут найти таковых»[168].

Полезно также здесь отметить и мнение Кантора по поводу использования понятия бесконечного у Канта в «Критике чистого разума» (Антиномии чистого разума). Для той техники и той системы дистинкций в отношении актуальной бесконечности, которая была развита Кантором, кантовское использование понятия бесконечности достаточно вульгарно. «При случае я покажу,  пишет Кантор,  что лишь благодаря смутному неотчетливому употреблению понятия бесконечности (если еще можно говорить о понятиях при подобных обстоятельствах) этому автору удалось вызвать серьезное отношение к его антиномиям и к тому же только у тех лиц, которые, подобно ему, предпочитают уклоняться от основательного математического рассмотрения подобных вопросов»[169]. Нам неизвестны тексты, где Кантор специально анализировал бы кантовские антиномии, но понять смысл его замечания можно. Так, например, в доказательстве тезиса «Первого противоречия трансцендентальных идей» Кант пишет: «В самом деле, допустим, что мир не имеет начала во времени, тогда до всякого данного момента времени протекла вечность и, стало быть, прошел бесконечный ряд следующих друг за другом состояний вещей в мире. Но бесконечность ряда именно в том и состоит, что он никогда не может быть закончен путем последовательного синтеза. Стало быть, бесконечный прошедший мировой ряд невозможен; значит, начало мира есть необходимое условие его существования, что и требовалось доказать... [выделено мной.  В. К.[170]. Кантор мог бы критиковать это рассуждение следующим образом. «Бесконечность» ряда означает лишь бесконечную мощность множества (состояний вещей). Но это множество может быть по-разному упорядочено. Так, бесконечный ряд натуральных чисел можно упорядочить и обычным образом:

1, 2, 3, ... , n...,

и «наоборот»:

..., n, ... 3, 2, 1.

А можно еще и так:

2, 3, 4, ..., n, ... 1.

В первом случае бесконечный ряд «не закончен», т.е. не имеет последнего элемента. Во втором же и в третьем этот ряд имеет последние элементы (в каждом случае это 1). Поэтому рассуждение Канта существенно опирается на молчаливую предпосылку, что бесконечный ряд состояний вещей может быть упорядочен только единственным образом. Кантор же, введя вместе с понятием мощности понятие порядкового типа, или ординального числа, стал рассматривать все возможные упорядочения. Кантор упрекает Канта также и за то, что он рассматривал абсолютное как предел конечного. Согласно же теории множеств последний предел есть лишь трансфинитное, причем наименьшее из всех (канторовское «w»). Кантор резко отрицательно относился к этим рассуждениям Канта: «Вряд ли когда-либо  не исключая пирроновский и академический скепсис, с которым у Канта столь много общего,  что-нибудь так способствовало дискредитации человеческого разума, как этот раздел "критической трансцендентальной философии"»[171].

Третью точку зрения  принятие актуальной бесконечности in abstracto, но отрицание ее существования в природе  разделяет, по Кантору, некоторая часть неосхоластов [172]. Сторонников четвертой точки зрения  т.е. принятия актуальной бесконечности и как существующей в природе, и как легального инструмента человеческого познания  немного: «Этой точки зрения, которую я считаю единственно правильной, придерживаются лишь немногие. Быть может, я по времени первый, защищающий ее с полной определенностью со всеми ее следствиями, но одно я знаю твердо: я не буду последним ее защитником!»[173] Созданная Кантором теория множеств породила столь глубокие парадоксы и ввергла математику XX в. в столь глубокое перманентное кризисное состояние, что приходится констатировать: Кантор, скорее всего, ошибся в последнем тезисе; он, вероятно, был последним, кто защищал эту точку зрения «с полной определенностью» и «со всеми ее следствиями»...


Глава IV

Математика и религия

§ 1. Трансфинитные числа в Боге

Обсуждая теорию множеств Кантора в том варианте, как она была задумана и реализована им самим, мы с неизбежностью приходим к религиозным вопросам. Этого требует прежде всего простая научная честность. Кантор был глубоко религиозным человеком. О его личной религиозности мы подробнее поговорим позднее. Сейчас нам необходимо лишь отметить, что в связи с теорией множеств для него были одинаково важны и математические, и богословские аспекты. Сам предмет теории множеств, имеющий дело с тем объемлющим [174], которое представляет собой как бы пространство и место всех чисел, естественно «приглашал» к подобному расширению обсуждения. Имея дело с бесконечным, теория множеств касается традиционных философских и богословских вопросов, и только культурная ограниченность или агрессивная духовная предвзятость может игнорировать этот очевидный факт [175]. В случае же с Кантором это возможно только ценой искажения той реальной философской перспективы, в которой возникает теория множеств.

Для канторовского научного мышления, существенно обусловленного теологическим горизонтом, переход к богословским темам был достаточно естественным. Мы уже говорили выше, что главным критерием математического существования у Кантора выступала логическая непротиворечивость. То, что логически непротиворечиво, может быть законно введено в математику. Но в то же время все логически непротиворечивое, по Кантору, так сказать, не случайно: оно законно существует не только в нашем уме, но и в уме Бога. Точнее говоря, именно существование в уме Бога вечных идей, непротиворечивость которых есть лишь другое название их простой онтологической консистентности, дает возможность нам познавать эти идеи. И путь к опознанию этих идей прост: достаточно иметь непротиворечивую интеллектуальную (ма­тематическую) конструкцию. В Боге, как в самой истине, не может быть противоречия. Этот ход мысли  от математики к теологии (и обратно)  Кантор применяет постоянно. Все непротиворечивое возможно. Но эту категорию возможности Кантор использует богословски содержательно: все возможное a priori содержится в божественном Уме. Когда Кантор говорит возможное, то это всегда означает констатацию двух положений:

а) логической непротиворечивости и

б) вечного существования в божественном Уме.

Подобный ход мысли привычен для традиции спекулятивного богословия. Яркие примеры применения подобного метода можно найти, например, у Николая Кузанского [176]. Однако «вес» двух этих утверждений слишком различен: констатация логической непротиворечивости для конечного человеческого ума, с одной стороны, и утверждения о вечном существовании истинной идеи в божественном Уме, с другой...

В переписке с богословами Кантор использует этот подход как самоочевидный, как некую философско-богословскую аксиому. Так, в письме от 13.10.1895 к французскому теологу И.Джейлеру, активно интересовавшемуся теорией множеств, он пишет: «Ре­зуль­та­ты [изучения актуально бесконечного.  В.К.], к которым я пришел, суть следующие: Подобное трансфинитное, мыслимое равно как in concreto, так и in abstracto, непротиворечиво, а следовательно, и возможно, и может быть сотворено Богом так же, как и конечное. Трансфинитное может быть различным образом упорядочено, специфицировано и индивидуализировано. В частности, существуют трансфинитные кардинальные числа и трансфинитные ординальные типы, которые подчинены определенной познаваемой людьми математической закономерности в той же степени, что и конечные числа и формы. Все эти особые модусы трансфинитного от вечности существуют как идеи in intellectu divino [выделено самим Кантором.  В.К.[177]. Заметим, что в первом из выделенных предложений говорится даже больше, чем то, что возможное существует в божественном Уме. Возможное, логически непротиворечивое может вместе с тем и быть сотворено Богом, может существовать in concreto, как физическая реальность. Мы уже говорили выше о философских взглядах Кантора [178]: он был убежден, что имманентная, чисто теоретическая состоятельность научных концепций и их транзиентное значение  т.е. относящееся к приложениям этих концепций к конкретной физикалистской реальности  необходимо связаны между собой. В теологических же рассуждениях Кантора выступает богословская основа этой связи: непротиворечивые идеи от века заключены в Уме Бога и поэтому Бог может их сотворить. Бог выступает здесь гарантом материальной значимости теоретического познания. Ход мысли чисто декартовский, традиционный для новоевропейского обоснования науки. Это перебрасывает естественный мост к физике и к надеждам Кантора найти в последней подтверждения своим теоретико-множественным конструкциям. С другой стороны, здесь встают серьезные теологические вопросы, касающиеся соотношения возможного и актуально сотворенного. Все эти темы были развернуты в канторовской переписке и доведены до их логического конца. Мы разберем это ниже. Сейчас же нас интересует другой, более психологический момент канторовских религиозных представлений, который поможет и лучше понять теологические импликации его научной теории.

Эта апелляция к Богу, к видению трансфинитных чисел с точки зрения Абсолютного Ума, sub specie aeternitatis была по-своему необходимой. Для построения канторовской теории нужно было иметь концепцию кардинального числа. Обычного подхода к числу, основанному на переходе от n к (n+1) [179], было здесь недостаточно. Таким образом, мы бы все время оставались в области конечных чисел. Переход от n к (n+1) давал нам ординальные конечные числа, но его недостаточно для получения общего понятия кардинального и тем более трансфинитного числа. Кантор, говоря о трансфинитных кардиналах, подчеркивал, что получает их абстракцией от свойств элементов и их порядка для произвольного бесконечного множества (см. выше), аналогично тому, как конечные кардинальные числа получаются подобной абстракцией, примененной к конечным множествам. Нужно было как бы «увидеть» множество как единую тотальность. Весь вопрос только состоял в том, как можно «увидеть» бесконечное множество... Речь идет не о «представлении» бесконечного множества в воображении. Выше мы уже обсуждали реакцию Кантора на критику с подобной точки зрения [180]. Речь идет о том, как вообще возможно адекватно мыслить бесконечное. И здесь апелляция к божественному Уму была всегда почти навязчиво соблазнительной: уж, конечно, божественный Ум видит эту актуально бесконечную тотальность...

§ 2. Теория множеств как откровение

Итак, божественный Ум видит бесконечные множества непосредственно. Для человеческого же ума, конечного и погруженного во временность, актуальная бесконечность может выступать только как откровение. Именно так Кантор и понимал свою деятельность: он рассматривал себя как инструмент высшей силы, как орган откровения, сообщающий людям высшие божественные истины. Это самоощущение сопутствовало ему всегда: от еще смутных предчувствий своего будущего призвания в юные годы [181] до откровенных высказываний в письмах зрелой поры. В 1883 г. он пишет своему другу и издателю математического журнала «Acta Mathemati­ca» шведскому математику Г. Миттаг-Лефлеру: «Мои дорогие друзья, любящие называть себя математиками, могут думать о моих идеях все, что угодно, они могут писать о том, что им кажется правильным, в Лондон, Париж, хоть на Камчатку, но я твердо знаю, что идеи, над которыми я тружусь со своими слабыми силами, будут занимать мыслящие умы целых поколений, даже и в то время, когда я сам и мои добрые друзья, господа математики, уже давно проследуют путем всех смертных. Я далек от того, чтобы приписывать мои открытия личным достоинствам, потому что я есть лишь инструмент некой высшей силы, которая будет работать и после меня, тем же самым образом, как она проявила себя тысячи лет назад в Евклиде и Архимеде... [курсив мой.  В.К.[182]. Подобная вера в собственное призвание, конечно, очень помогала Кантору. Как пишет биограф создателя теории множеств Дж. Даубен, Кантор осознавал себя как бы новым Галилеем, призванным открыть Церкви истинный образ мира, созданного Богом [183]. И в выполнении этой божественной миссии нельзя было отступать и колебаться, можно было только идти вперед...

Здесь уместно вспомнить и эпиграфы к последнему и наиболее полному изложению теории множеств Кантора в работе «К обоснованию учения о трансфинитных множествах», изданной в 1895–1897 годах. Первые два эпиграфа  «Hypotheses non fingo» и фрагмент из Ф. Бэкона, мы уже разбирали. Третий эпиграф звучит так: «Наступит время, когда то, что сейчас скрыто, будет вынесено на дневной свет стараниями будущих поколений» (ори­ги­нал по-ла­тыни) [184]. В общем контексте канторовского мировоззрения уясняется и значение этого эпиграфа. Не все очевидно и отчетливо в предлагаемой новой теории. Однако ее время еще придет: стараниями будущих поколений ученых необходимость и естественность теории множеств выступят со всей очевидностью абсолютной истины. И дело жизни самого Кантора выступает в этом смысле как своеобразное пророчество об истине...

Этот религиозный пафос научной деятельности Кантора  характерная черта истории создания теории множеств. Этот пафос питался из двух источников: личная религиозность Кантора и исторически традиционный теологический контекст осмысления актуальной бесконечности. О последнем мы будем говорить специально ниже. Что же касается первого, то здесь действовали парадоксальные, нередко сопряженные с трагическими последствиями, но общие закономерности религиозной психологии: неудачи Кантора утвердить теорию множеств в современной ему математической культуре еще больше подтверждали для него самого новаторское и профетическое значение его теории. «Моя теория стоит твердо как скала,  пишет Кантор в 1888 г.,  каждая стрела, направленная против нее, немедленно возвратится к ее автору. Почему я знаю это? Потому что в течение многих лет я изучил ее со всех сторон; потому что я проанализировал все возражения, которые когда-либо можно бы было выдвинуть против бесконечных чисел, и, кроме всего этого, потому, что я проследил ее корни, так сказать, вплоть до первой неколебимо истинной причины всех сотворенных вещей»[185].

К середине 80-х годов положение было критическим. Несмотря на достаточное количество опубликованных работ по теории множеств, Кантор не получил еще никакого официального признания со стороны крупных и влиятельных математиков: не только от Кронекера, Куммера, Борхадта, но и от Вейерштрасса, который по-своему сочувствовал идеям создателя теории множеств. Продолжалась безуспешная борьба за доказательство уже обещанной Кантором континуум-гипотезы: в течение нескольких месяцев Кантор переходит от полной уверенности в доказанности теоремы к обнаружению ошибки, от новых доказательств к доказательствам отрицания объявленного результата. В марте 1885 г. издатель шведского математического журнала «Acta Mathematica» Миттаг-Лефлер, один из немногих, кого Кантор мог считать своим другом и соратником в деле утверждения своей теории, просит его отозвать из журнала новую статью «Принципы теории порядковых типов. Первое сообщение». Среди множества смягчающих и сочувствующих слов высказана и главная мысль: на базе теории множеств почти нет новых позитивных результатов. И слишком много философии. Тот же упрек, который повторял постоянно и Кронекер (ср. выше). «Вполне может случиться так, что Вы и Ваша теория так и не будут справедливо оценены при нашей жизни. Теория тогда будет вновь открыта через сотню лет или что-нибудь вроде этого кем-нибудь другим, и тогда, следовательно, будет осознано, что Вы уже полностью обладали ей. Тогда, по меньшей мере, Вы получите справедливую оценку»[186]. Для самолюбивого и вспыльчивого Кантора этот выраженный в мягкой форме отказ Миттага-Лефлера печатать его статью был очень болезненным ударом. И конечно, «утешительный» совет подождать с признанием какую-нибудь сотню лет раздражал еще сильнее. Положение усугублялось еще и тем, что с середины 1884 г. Кантор был подвержен припадкам психической болезни. Вплоть до конца своей жизни в 1918 г. почти каждый год он вынужден был ложиться на несколько месяцев в психиатрические больницы...

Мы не пишем здесь биографии Кантора. Биографические данные важны для нас только в одном специальном смысле: понять тот комплекс идей, ту сложную амальгаму научных, философских и богословских представлений, из которой возникает теория множеств Кантора. Глубокую личную религиозность создателя теории множеств и ее влияние на становление теории невозможно не заметить любому честному и непредвзятому исследователю, касающемуся вопроса о генезисе этой теории. Но есть и объективная связь идей, обусловившая перипетии становления новой теории, создававшая возможности,  а то и необходимость,  новых связей, как в сфере чисто теоретической, так и в области личных контактов Кантора... Выше [187] мы говорили о странном парадоксе: сущность математики, по Кантору, состояла именно в свободе и в то же время он, как никто из других математиков, стремился связать свои теоретико-множественные конструкции с традиционными представлениями в истории философии и богословия. При вникании в предмет парадокс этот все больше разъясняется. Первой причиной апелляции к истории философии и богословия было, конечно, традиционное место проблем, связанных с актуальной бесконечностью, в истории культуры: они обсуждались именно в философии и богословии, а не в науке. Если средневековая наука и затрагивала частично эти вопросы (Т. Брадвардин, например), то там всегда чувствовалось присутствие определенного теологического горизонта. Но есть и другая причина обращения к внематематическим примерам актуальной бесконечности, причина более непосредственная и для Кантора в высшей степени болезненная. Дело в том, что, несмотря на развернутую богатую абстрактную теорию, с бесконечно возрастающей последовательностью мощностей («алефов»), практически Кантор мог «предъявить» только две мощности: мощность множества натуральных чисел a0, и мощность множества точек континуума 2a0. Причем в отношении последней нужно еще было решить мучительно не поддающуюся разрешению проблему континуума: равна ли мощность 2a0 следующему за a00 кардинальному числу a1? Поэтому упрек в отсутствии новых положительных результатов был для Кантора очень болезненным. Вся «вавилонская башня» алефов как бы превращалась в мираж. Одно дело  свобода математики как принцип, и другое  судьба отдельной математической теории, или находящей наконец свои контакты с «реальностью» в приложениях, или остающейся отвлеченно бесплодной... Требовалось какое-то «во­пло­щение» этих чисто абстрактных конструкций. Поэтому неизбежно было обратиться к другим сферам знания с целью найти там подтверждения теоретико-множественным построениям. Причем во всех этих обращениях налицо ясно различимая двойственность: Кантор ищет поддержку  лучше бы всего каких-то конкретных примеров бесконечных множеств разных кардинальных чисел,  но в то же самое время и сам обещает помочь этим областям средствами своей теории множеств, выдвигает новые программы применения теории множеств, есть ли это физика, философия или богословие. Но так как положительных примеров, поддерживающих теорию множеств, почти не находится, то практически остаются только одни «прожекты», которые выступают в качестве де оправдывающих теорию множеств «сияющих» перспектив ее возможных приложений... Мы уже разбирали выше историко-философские «привязки» теории множеств Кантора. Можно констатировать, что в целом, за исключением, может быть, Лейбница, результат был отрицательным. Теперь на очереди связь теории множеств с физикой и богословием.

§ 3. Канторовские проекты приложения теории множеств
в естествознании

Кантор питал большие надежды на применение теории множеств в естествознании. Его подход, связанный с переформулировкой всех понятий физики, химии (а может быть, и биологии) в терминах теории множеств, представляет собой как бы воскрешение пифагорейской программы: «Числу все вещи подобны»[188]. Однако за одним существенным исключением: пифагорейцы все-таки говорили о конечных числах, и актуально бесконечные множества никогда не входили в их рассмотрение. Канторовская программа в естествознании представляет собой своеобразный титанический пифагореизм. Впрочем, она так и осталась гипотезой...

В отозванной из «Acta Mathematica» в 1885 г. статье Кантор писал: «Действительные целые числа 1, 2, 3, ... образуют относительно очень малую разновидность объектов мысли, которые я называю порядковыми типами или просто типами (от +o t)upoV)... Поэтому та дисциплина, которую сегодня называют «высшей арифметикой» (Theorie des nombres), является сравнительно малой составной частью, или, если угодно, только началом, введением в чрезвычайно обширное и богатое приложениями учение, которое я называю «теорией порядковых чисел» (theoria typorum ordinalium), или, короче, «теорией типов»... Те же объекты мысли, которые я называю трансфинитными или сверхконечными числами, являются лишь частными случаями порядковых типов. А именно они являются типами вполне упорядоченных множеств...

Мне кажется, что общая теория типов многообещающая во всех отношениях»[189].

Общая теория типов играет, по Кантору, существенную роль как в чистой, так и в прикладной математике. Собственно, чистая математика сводится у Кантора к общей теории множеств. А в последней теория упорядоченных множеств имеет большое значение. В прикладной математике, или, по Кантору, в прикладной теории множеств, общая теория типов также должна занять существенное место. «Под прикладной теорией множеств пишет Кантор,  я понимаю то, что обычно называют учением о природе или космогонией, а значит, к ней относятся все естественные науки, связанные с неорганическими и органическими мирами... Математическая физика тоже соприкасается с теорией типов, ибо последняя оказывается сильным и радикальным инструментом для проникновения в суть так называемой материи и ее понятийного построения... С этим же связана и применимость теории типов в химии... Но особенно интересными мне кажутся применения математической теории типов к изучению и исследованию области органического»[190]. Как видим, Кантору рисовались очень широкие перспективы применения общей теории типов. Что же это за теория?

При ближайшем рассмотрении она оказывается и очень элементарной, и порождающей титанические трудности одновременно. Собственно, Кантор дал здесь лишь главные определения теории, будучи остановлен в дальнейшем продвижении необозримым множеством возникающих возможностей. Что касается определения упорядоченных множеств, мы говорили об этом в начале. В общей теории типов к ним добавляется определение n-кратного упорядоченного множества. «Под n-кратным упорядоченным множеством мы понимаем такое множество, все элементы которого упорядочены в n отношениях (измерениях). Эти n отношений тоже должны мыслиться в некоторой последовательности, так что их можно различать как первое, второе, ..., n-е отношение»[191]. Например, любую группу людей можно, при желании, рассматривать как трехкратно упорядоченное множество: по росту, по весу, по возрасту. В каждом из трех возможных упорядочений наше множество оказывается просто упорядоченным [192]. Кантор определяет отображение таких n-кратно упорядоченных множеств, подобие их и, наконец, n-кратный порядковый тип как то общее понятие, под которое попадают все n-кратно упорядоченные множества, подобные какому-нибудь одному. Несложно также определить сложение и умножение таких кратных порядковых типов. Однако развивать теорию дальше становится очень трудно из-за неохватно огромного количества возможностей n-кратного упорядочения (да­же в случае конечных множеств) [193].

Именно с этой теоретико-математической техникой Кантор надеялся дать более адекватное описание природы, чем давала традиционная, возникшая в XVII столетии наука. Он пишет об этом в письме к (нашей соотечественнице) математику С. Ковалевской: «Существуют также типы дважды, трижды, n-кратно и даже w-кратно etc. (причем речь идет не только о естествознании, но и об искусстве) упорядоченных множеств, благодаря которым, как кажется, на старые и новые вопросы арифметики и космологии может быть пролито много света. Все, что я называю порядковыми типами, имеет в той же степени арифметический, как и геометрический, характер, последний, именно, в случае типов кратно упорядоченных множеств. В то время как декартовски-нью­то­нов­ски-лейбни­цев­ский метод применяется при условии ограничения феноменов природы, я уже многие годы держусь того мнения, что у нас все еще отсутствует соответствующее строго математическое вспомогательное средство, с помощью которого было бы возможно в определенной мере войти внутрь природных процессов с целью тщательного рассмотрения их не извне, а изнутри, чтобы потом дать их более точное, чем прежде, описание; сможет ли моя теория типов быть этим необходимым инструментом, я еще не могу решить, и это выяснится только со временем»[194].

Позже Кантор уже с большей уверенностью говорит о возможности применения своей общей теории типов (хотя существенных теоретических результатов в этом направлении им получено не было). Причем речь идет не только о естествознании, но и об искусстве. Так, в работе «К учению о трансфинитном» Кантор описывает формализацию, как сказали бы мы сегодня, картины и музыкального произведения с помощью теории типов. Всякая картина с этой точки зрения представляет собой некоторый набор точек, конечный или бесконечный [195], каждая из которых характеризуется четырьмя параметрами: двумя координатами (абсциссой, ординатой), цветом и интенсивностью этого цвета, причем цвета мы считаем поставленными во взаимооднозначное соответствие с длинами их волн. Все четыре параметра упорядочены по величине. Тем самым мы представляем картину как четырехкратно упорядоченное множество. Аналогично можно рассматривать какое-нибудь музыкальное произведение как множество звуков, упорядоченное по четырем «направлениям»: последовательность во времени («рань­ше», «одновременно», «позже»), продолжительность, высота и интенсивность. Каждому же упорядоченному множеству соответствует определенный порядковый тип, к которому можно применить общую теорию. Кантор, таким образом, предлагает общий метод анализа как природы, так и искусства: «Таким образом, если мыслимо, что в основе музыкальной вещи и картины лежит случайно один и тот же порядковый тип, то отсюда видно, как при известных обстоятельствах самые разнородные вещи могут быть соединены между собой общей связью идеальных чисел»[196].

«Могут быть соединены...» При условии, конечно, что удастся осознать и выразить все многообразие элементов и их связей в произведении искусства в формальных теоретико-множественных терминах. Этот вечный соблазн «поверить гармонию алгеброй» подвигал не одного ученого и художника на утопические проекты формализации искусства. А в ХХ в. модернистское искусство, в своем интеллектуальном ядре, и было как раз грандиозной попыткой свести искусство к науке, «гармонию к алгебре». Кантор в этом смысле и дитя своего времени, и одновременно один из родоначальников-теоретиков формалистских подходов к искусству в ХХ столетии. В формалистском подходе есть своя правда: в произведении искусства наличествует всегда некая формальная структурность, которую можно выделить, и изучать научными и в частности математическими, методами. Однако, как показывает опыт, вся глубина искусства, его символическая значимость не выражаются через чисто формальные элементы. Практически, попытка найти это выражение ведет к формальным конструкциям головокружительной сложности, реально неосуществимым. Кантор же, несмотря ни на что, верил, что такое познавательно плодотворное расчленение искусства возможно.

Здесь всегда вспоминается введенное Блезом Паскалем четкое различение двух типов ума: l’esprit g)eom)etrique и l’esprit de finesse, ум геометрический и ум проницательный (если можно так перевести второй, трудно поддающийся переводу термин). Ум геометрический способен работать с ограниченным числом абстрактных принципов и логически выводить из них различные положения. Ум проницательный способен ориентироваться и выносить суждения в очень сложной интеллектуальной ситуации, обусловленной нередко необозримым числом принципов, способен разом схватывать узловые положения и формулировать их. Ум геометрический, могли бы сказать мы,  это оперирующий по фиксированным правилам, в условиях заданных определений, человеческий рассудок. Ум проницательный  это вся таинственная глубина способности суждения в сфере эстетического, нравственного, интеллектуального. Вообще говоря, эти две способности вза­и­модополнительны. «Поэтому то, что некоторые проницательные умы не могут быть геометрами,  пишет Паскаль,  обусловлено тем, что они никак не могут обратиться к началам геометрии; а то, что геометры не могут быть проницательными, связано с тем, что они не видят того, что находится у них перед глазами, так как, привыкнув к четким и жестким принципам геометрии и умея размышлять только при условии ясного восприятия этих принципов, они теряются перед вещами, требующими проницательности, принципы которых не даются таким же образом. Эти принципы едва видимы, их скорее чувствуют, чем видят; и приходится затрачивать бесконечные усилия, чтобы заставить почувствовать их тех, которые сами их не воспринимают; эти принципы суть вещи столь тонкие и они столь многочисленны, что для того, чтобы их почувствовать, необходимо иметь восприятие очень чуткое и отчетливое, не располагая чаще всего возможностью доказать их последовательно, как в геометрии, потому что начала их не даны и возможное доказательство уходило бы в бесконечность. Здесь требуется увидеть вещь сразу, с одного взгляда, по меньшей мере, до определенной степени, а не благодаря рассуждению»[197]. Название геометрический ум не означает, что в геометрии работает только эта способность. И в геометрии, и в математике вообще вместе со способностью к строгой логической дедукции играет большую роль также и способность к целостному интуитивному охватыванию предмета, ум проницательный. Так что и сама математика в этом смысле совсем не однородна [198]. Скорее здесь, как и в искусстве, как и в других сферах человеческой жизнедеятельности, обозначаются два направления: одно  стремящееся свести всю совокупность действий к некоторому фиксированному алгоритму, к технике и, следовательно, к автомату; и другое  признающее за знаковыми системами и человеческими действиями только символическое значение, требующее для своей интерпретации целостного человеческого сознания. Мы не можем, однако, развивать здесь эти соображения дальше.

Вернемся к канторовским проектам в естествознании. Создатель теории множеств не раз писал, что он был всегда не удовлетворен гипотезами о последних элементах материи, применяемыми в физике. В особенности это касалось представлений об атоме как имеющей конечную, хотя и очень малую величину частице материи. Кроме того, вставал вопрос о количестве атомов во Вселенной. «Я нисколько не сомневался, что для получения безупречного объяснения природы последние или первоначальные простые элементы материи следует предполагать имеющимися в актуально бесконечном числе и рассматривать их в отношении пространственности как совершенно непротяженные и строго точечные»[199]. Эту точку зрения частично поддерживали: М. Фарадей, А. Ампер, В. Вебер. К ней примыкал также и математик О. Коши, хотя нужно всегда помнить, что, в отличие от Кантора, количество атомов во Вселенной, по Коши, должно быть конечным.

Сведя материю к безразмерным точкам, Кантор надеялся, что тогда и физику удастся свести к теории точечных множеств, т.е. к одному из применений общей теории множеств. «Однако, чтобы иметь возможность реализовать это фундаментальное представление, мне казалось необходимым предпослать этому общие исследования о точечных множествах в том виде, как я их проводил. Простые элементы природы, из объединения которых в некотором смысле получается материя, я, примыкая к Лейбницу, называю монадами или единицами...»[200] Здесь необходимо сделать замечание. «Примыкание» Кантора к Лейбницу довольно спорно. У Лейбница монада есть субстанция, т.е. «существо, способное к действию»[201]. Монады, хотя и не имеют частей, отличаются одна от другой внутренними различиями и действиями. Все это богатство лейбницевской метафизики не имеет никакого отражения в теории множеств Кантора. Точки, элементы множеств,  все тождественны и качественно идентичны. Хотя Кантор и называет их, как и Лейбниц, единицами и, как мы видели выше, даже говорит об органических единствах единиц (в числе), однако это не оказывает никакого влияния на теорию множеств, где элементы множеств не имеют никакой «внутренней жизни». Следует заметить, кроме того, что у Лейбница монады, строго говоря, не есть точки в пространстве. Монады суть духовные существа, и не существует никакого пространства, объемлющего их. У Лейбница не монады существуют в пространстве, а пространство есть один из модусов представлений монад. Кантор в этом смысле довольно натуралистически интерпретирует лейбницевскую метафизику.

В духе физики своего времени Кантор предлагает рассматривать два типа материи, или «две материи», как выражается он сам: телесную и эфирную. Ей соответствуют два типа монад: телесные и эфирные монады. «С этой точки зрения, в качестве первого вопроса, до которого, однако, не додумались ни Лейбниц, ни более поздние ученые, возникает такой: какие мощности соответствуют этим двум материям в отношении их элементов, когда они рассматриваются как множества телесных, соответственно, эфирных монад? В этой связи я уже давно выдвинул гипотезу, что мощность телесной материи  это та, которую я называю в своих исследованиях первой, но, что напротив, мощность эфирной материи является второй»[202]. Другими словами, мощность множества телесных монад есть, по Кантору, a мощность счетного множества, а эфирных  a1, первое, следующее за a0 кардинальное число. Это предположение необходимо Кантору [203] для реализации его чисто формального подхода, т.е. основанного не на каких-то опытных данных, а на применении исключительно общих теорем теории множеств. Дело в том, что в своей теории для точечных множеств первой и второй мощности Кантор доказал некоторые стандартные разложения этих множеств в сумму других, более простых множеств, отличающихся друг от друга, так сказать, разной «плот­но­стью». Эти же стандартные множества, в свою очередь, Кантор надеялся интерпретировать как ответственные за различные феноменальные проявления материи: агрегатные состояния вещества, химические свойства, свет и тепло, электричество и магнетизм. Впрочем, все эти положения так и остались лишь неподтвержденными гипотезами.

§ 4. Теория множеств и теология (Августин, А. Арно, Б. Паскаль, аббат Муаньо)

В приведенном выше письме Кантора к доминиканцу Т. Эшеру (с. 73 и далее) мы видели, насколько взаимовыгодным виделось создателю теории множеств взаимоотношение науки, метафизики и теологии. Не только сверху вниз  от откровенной истины к опытным наукам  распространяется свет истины, но и, наоборот, «каж­дое расширение нашего воззрения в области тварно-воз­мож­ного должно вести.... к некоему более обширному богопознанию»[204]. Собственно, последнее, влияние науки (математики) на теологию, и есть главная мысль, в которой стремится убедить адресата письмо. И конечно, теории множеств здесь отводилась совершенно особая роль. Об этом ярко свидетельствует и заключение письма: «Много времени спустя после того, как я разобрался в вещах, о которых здесь идет речь, я заметил, что в 17-м столетии, столь богатом великими умами, было предпринято несколько попыток развить учение об актуально бесконечном in natura naturata, в частности, францисканцем Эм. Маньяном, иезуитом Р. Арриагой, Лейбницем, Мальбраншем, Фонтенелем. Долгое время я надеялся найти у того или другого большую близость с моим собственным учением. Но внимательное исследование показало мне, что это могло быть верно лишь в минимальной степени. Все эти ранние попытки оказываются или в высшей степени неразвитыми, или противоречивыми, чем и объясняется, почему они остались без влияния, полностью бесполезными и без более успешных последователей. Мною впервые предложено христианской философии истинное учение о бесконечном в его началах. Я знаю совершенно точно и определенно, что она воспримет это учение, вопрос состоит только в том, сейчас или уже после моей смерти. Эту альтернативу я воспринимаю совершенно равнодушно, она не затрагивает моей бедной души, которую я спешу вручить Вам, достопочтимый отец, и Вашим благочестивым молитвам» [выделено мной.  В. К.] [205]. Кантор, как мы знаем, был непоколебимо убежден, что через него действует высшая сила и что поэтому триумф теории множеств в будущем неизбежен. Но все истинное не случайно в истории. Хотя, может быть, и не сразу осознанное, оно должно в какой-то степени присутствовать в истории мысли всегда, в прошлом в той же степени, что и в будущем. Тем более, если это касается таких фундаментальных понятий, как бесконечность. Необходимо было найти какие-то следы этой новой истины, открытой теорией множеств, какие-то фрагменты в истории христианской мысли, «христианской философии», которые поддерживали бы позицию Кантора. Но, как признается он в последней цитате и как признавался не раз в других местах, найти такие места представлялось почти невозможным...

Тем не менее у Августина Кантор признавал нечто близкое своему подходу к актуальной бесконечности. Кантор обсуждает соответствующие взгляды епископа Гиппонийского в работе «К учению о трансфинитном». Глубоко разочарованный в своих надеждах быть понятым и признанным математиками, особенно после отзыва материалов из «Acta Mathematica» в 1885 г., Кантор напечатал эту статью в философском журнале (1887). Первая часть статьи была посвящена разбору философских и богословских возражений, связанных с теорией множеств. Говоря об Августине, Кантор ссылается на гл. XVIII кн. 12 «О Граде Божием». Глава XVIII имеет название «Против тех, которые говорят, что бесконечное не может быть обнято даже божественным ведением». Здесь внимание Кантора привлекли фрагменты, признающие за Богом способность видеть все числа, весь натуральный ряд чисел сразу. «Итак, неужели Бог не знает всех чисел вследствие их бесконечности,  задает вопрос Августин,  и неужели ведение Божие простирается лишь на некоторую сумму, а остальные числа не знает? Кто даже из самых безрассудных людей скажет это?»[206] Это предположение противоречит нашему представлению о совершенной премудрости Бога. Августин приводит несколько традиционных мест из Писания: «Вся мерою и числом и весом расположил еси» (Прем. Сол. XI, 21); «Вам же и власы главные вси изочтены суть» (Мф. 10, 30); «Разума Его несть числа» (Псал. 146, 5). «По­этому, бесконечность числа, хотя бы и не было числа бесконечным числам, не может быть необъемлемою для Того, у Кого нет числа разуму. Все, что объемлется знанием, ограничивается сознанием познающего; так же точно и всякая бесконечность бывает некоторым неизреченным образом ограниченною в Боге, потому что не необъятна для Его ведения»[207] [выделено полужирным мной.  В. К.]. Выделенное место служит для Кантора подтверждением того, что Бог, по Августину, видит бесконечное как законченное целое, т.е. как трансфинитное: «Нельзя более энергично требовать, более совершенно обосновывать и защищать трансфинитное, чем это сделано св. Августином. А что в случае бесконечного множества (n) всех конечных чисел речь идет не об абсолютно бесконечном, то в этом вряд ли кто сомневался. Тем же, что св. Августин утверждает общее, интуитивное восприятие множества (n) «quo­dam ineffabili modo», a parte Dei [208], он одновременно признает это множество более формальным, чем некое актуально бесконечное целое, как некое трансфинитное, и мы вынуждены следовать в этом за ним»[209]. Трудно согласиться с убедительностью этих рассуждений Кантора. Формальное (т.е. идеальное) и реальное в мысли Бога совпадают. Поэтому между актуально бесконечным множеством натуральных чисел и их формальным образом никакой разницы нет. Бог, конечно, видит это множество все целиком, и оно, вообще говоря, не совпадает с абсолютным. Но можно ли эту интуицию понимать как число, в том духе, как это делается в теории множеств, в частности как трансфинитное порядковое число, и осуществлять с ним операции (в частности, увеличивать, добавлять единицы и т.д.)  мы не знаем. Сам Августин не рискует об этом спекулировать. Он говорит просто о том, что Бог разом видит все конечные числа. Канторовская же интерпретация этого утверждения идет много дальше.

Блеза Паскаля и Антуана Арно Кантор также пытался зачислить в число своих союзников. В выдержках из письма шведскому математику Г. Энестрему, напечатанных отдельной статьей в философском журнале в 1886 г., Кантор критиковал возражения против возможности существования актуально бесконечных чисел, основанных, как он подчеркивал, на ошибочной предпосылке: от бесконечных чисел требовали тех же свойств, что и от конечных. Мы разбирали эту полемику выше (см. с. 27 и далее). Тут же Кантор замечает: «Паскаль, как я лишь недавно увидел, вполне осознал всю рискованность, если не нелепость подобных дедукций, с какими мы встречаемся у названных нами писателей. Поэтому он, равно как и его друг Антуан Арно, высказывается за актуально бесконечные числа. Но в силу некоторого другого соображения, на котором я не хочу здесь останавливаться, он слишком низко оценивал человеческий ум в отношении постижения им актуально бесконечного...»[210] Что касается Арно, то вряд ли можно согласиться, что он «высказывается за актуально бесконечные числа». В четвертой части «Логики, или Искусства мыслить» А. Арно и П. Ни­коль, на которую ссылается Кантор, в главе I разбираются вопросы, касающиеся бесконечности. Глава носит заглавие «О знании: что оно существует; что познаваемое умом более достоверно, чем познаваемое чувствами; что есть вещи, которые неспособен познать человеческий ум. О том, какую пользу можно извлечь из этого непреодолимого незнания». В этой главе мы, в частности, читаем: «Наилучший способ сократить себе путь в изучении наук  не заниматься разысканием того, что выше нашего разумения и что мы не можем надеяться когда-либо понять. К этому ряду принадлежат все вопросы, касающиеся могущества Божия, которое смешно пытаться объять нашим ограниченным умом, и вообще все, в чем есть бесконечность; ибо наш конечный ум в бесконечности теряется и слепнет, изнемогая под гнетом множества противоречивых мыслей, которые она вызывает»[211] [выделено мной.  В.К.]. Среди подобных вопросов авторы «Логики» называют, также: Возможно ли, чтобы сотворенное было сотворено в вечности? Может ли Бог создать тело бесконечной величины, движение с бесконечной скоростью, бесконечное множество? Является ли бесконечное число четным или нечетным? Существует ли бесконечность большая, чем другая? Утверждать на основании этого, что Арно признавал существование бесконечных чисел  значит насиловать смысл текста. По поводу этих вопросов в «Логике» читаем: «Тот, кто сразу скажет "Я ничего этого не знаю", в единый миг продвинется настолько же, как и тот, кто будет двадцать лет размышлять о подобных вещах. Единственное различие между ними состоит в том, что всякий, кто пытается найти ответ на эти вопросы, рискует опуститься ниже простого незнания, а именно возомнить, будто он знает то, чего он на самом деле не знает»[212]. Далее же, в главе VII, где авторы формулируют основные аксиомы, «которые могут служить отправными положениями для выведения великих истин», мы находим явно высказанную «Аксиому девятую»: «Конечный ум по природе своей не способен понять бесконечное»[213].

Арно, как и Паскаль, правда, отдает должное модной мифологии XVII столетия о бесконечной делимости материи. Лейбниц, как известно, прямо связал это со своей «Монадологией». «Но надо заметить,  пишет Арно,  что есть вещи непостижимые в своем способе бытия, но определенно существующие... Есть ли что-нибудь более непостижимое, чем вечность, и вместе с тем есть ли что-нибудь более несомненное?.. Разве мы в состоянии осмыслить, что мельчайшая частица материи делима до бесконечности и что мы никогда не могли бы дойти до частицы настолько малой, чтобы в ней не было заключено много других частиц, а точнее  неисчислимое множество других частиц; что мельчайшее хлебное зернышко заключает в себе столько же частиц, как и целый мир, хотя у них соответственно меньшие размеры; что в нем реально существуют все мыслимые фигуры и что оно вмещает малый мир со всеми его частями  солнцем, небом, звездами, планетами, землей в поразительной правильности пропорций; и что в этом зернышке нет ни единой частицы, которая не вмещала бы, в свою очередь, соразмерного ей мира!»[214] Эта бесконечность «вписанных» один в другой миров прямо не вытекает из бесконечной делимости геометрического пространства, к которому столь привлечено внимание XVII в. и о котором говорит здесь Арно. Чтобы перейти от бесконечной делимости пространства к актуально бесконечной разделенности материи, мира, нужна была специальная метафизика (например, лейбницевская «Монадология»). Но даже если и признать эту актуальную бесконечную разделенность материи, то общее количество частиц становится, скорее, неопределенно бесконечным, чем конкретно бесконечным, в смысле определенных трансфинитных мощностей Кантора. Во всяком случае, на основании этого трудно сделать вывод, что Арно «высказывается за актуально бесконечные числа». Вывод, который делает из этих рассмотрений Арно, не столько познавательный, сколько религиозно-нравственный: «Польза, извлекаемая из подобных умозрений, состоит не просто в том, что мы приобретаем познания,  эти познания сами по себе бесплодны. Важнее то, что мы замечаем ограниченность нашего ума и заставляем его волей-неволей признать, что есть вещи, которые существуют несмотря на то, что он не способен их понять. Поэтому имеет смысл утруждать ум подобными тонкостями, дабы умерить его самодовольство и навсегда отучить его противопоставлять свой слабый свет истинам, возвещаемым ему церковью, под предлогом, что он не может их понять. Ведь если человеческий ум отступает перед малейшим атомом материи и признает, что ясно видит его бесконечную делимость, но не в состоянии понять, как она возможна, то не следует ли отсюда, что отказываться верить в чудесные проявления непостижимого всемогущества Божия на том основании, что наш ум не может их понять,  значит явно грешить против разума?»[215]

Паскаля также трудно, вопреки мнению Кантора, зачислить в число сторонников легализации актуальной бесконечности в науке. В «Мыслях» можно найти много фрагментов, посвященных проблеме бесконечного. Но всегда их смысл, их интенция  религиозно-назидательная, а отнюдь не научно-познавательная. Например: «Единица, прибавленная к бесконечности, ничуть не увеличивает ее, так же как одна ступня, добавленная к бесконечному расстоянию. Конечное уничтожается рядом с бесконечным, превращаясь в чистое ничто. Так же и наш дух перед Богом; так же и наша справедливость перед божественной справедливостью. Несоизмеримость между единицей и бесконечностью не столь велика, как несоизмеримость между нашей справедливостью и божественной»[216]. Есть, однако, и фрагменты, которые, взятые сами по себе, могут быть истолкованы как признание существования бесконечных чисел. Например: «Мы знаем, что существует бесконечность и мы не знаем ее природы. Так, к примеру, мы знаем, что утверждение количество чисел конечно  ложно. Следовательно, чисел бесконечное множество. Но мы не знаем, что это такое. Неверно, что бесконечное  четно, неверно также, что оно и нечетно; так как, добавляя единицу, мы ничуть не изменяем его природы: однако, оно  число, а всякое число или четно, или нечетно; все это само собой разумеется в отношении конечных чисел»[217]. Паскаль, как мы видим, разделял все те предрассудки, с которыми Кантор постоянно боролся в своей полемике: что бесконечные числа,  если они и существуют должны обладать свойствами конечных, в частности иметь определенную четность. Говоря, что бесконечное есть число, Паскаль, скорее, делает предположение, показывая, что сфера бесконечного  непостижима. И все это всегда лишь с ориентацией на теологию, берущую разум только в специфически ограниченном смысле, дополняющую его всегда способностью веры: «Можно, следовательно, твердо знать, что Бог есть, не зная того, что он есть: и вы не должны заключать, что Бога нет, из того, что мы не знаем полностью его природы»[218]. Актуально бесконечное для Паскаля всегда  граница человеческого разума. Оно не столько показывает себя и дает себя познать, сколько указывает на Божественную реальность и на другие, иные, чем научные, методы познания: «Сердце имеет свои резоны, которых разум нисколько не осознает: это чувствуется в тысяче вещей. Именно сердце чувствует Бога, а не разум. В этом и состоит настоящая вера: Бог, ощущаемый в сердце»[219].

Полезно упомянуть здесь и о статье аббата Муаньо «Не­воз­мож­ность в действительности бесконечно-большого числа». Статья была приложена к «Семи лекциям общей физики» О. Коши. Муаньо был учеником Коши. К «Семи лекциям» он написал, кроме того, еще и вводную статью, представляющую собой краткий очерк жизни и научной деятельности своего учителя, показывающую последнего не только как плодовитого и разностороннего ученого, но и как глубоко благочестивого и активно творившего дела милосердия католика. Муаньо восхищается Коши как христианином, но ему также близка и точка зрения великого математика на актуальную бесконечность (которую мы разбирали выше). «Возможно ли в действительности бесконечно-большое число? Прибавляя единицу к единице или группу единиц к группам единиц, можно ли прийти в действительности к бесконечно-большому числу? На поставленный таким образом вопрос, простой здравый смысл не колеблясь отвечает нет, очевидно нет»[220]. Понимая число как получающееся через добавление единиц, Муаньо, естественно, не может получить таким образом бесконечного числа. Кроме того, с числом всегда связано у Муаньо понятие четности или нечетности, что нельзя применить к бесконечному числу и т.д. Короче, Муаньо разделяет ту традиционную точку зрения на актуально бесконечное, которая, по Кантору, есть petitio principii: от актуально бесконечного a priori требуют свойств конечного, вместо того чтобы изучить действительные его свойства. «Два эти понятия: число и бесконечное необходимо, существенно друг другу противоречат, одно другое отрицает»[221]. Католический писатель делает из этого сразу же богословские выводы: «Число бесконечно-большое невозможно, следовательно, число людей, существовавших на Земле, конечное, и был первый человек, созданный руками Бога Творца; следовательно число оборотов Земли вокруг Солнца конечное, и было первое обращение, и Земля была помещена на своей орбите волею Всевышнего, следовательно, во всех и в каждом из разрядов природы был первообраз без прародителей, и существа не вечно наследовали на Земле и пр. и пр.»[222]. Можно соглашаться или нет с подобными умозаключениями, однако трудно отказать им в определенной доли правдоподобия. Нам они важны здесь как свидетельства определенной традиции богословской аргументации, с которой встретился Кантор. «Что из этого разбора следует?  продолжает Муаньо,  с одной стороны, что свидетельства Бога более вероятны, чем мы могли бы того желать, testimonia tua credibilia sunt nimis [223], что главный догмат Творения есть простое заключение из науки о числах; что атеизм есть отрицание математической очевидности и пр.; с другой стороны, что неверие лежит не в уме, а в воле или в сердце, что, следовательно, оно не извинительно; что оно составляет не столько несчастие, сколько вину»[224].

Кантор читал и лекции Коши и приложение Муаньо и упоминает их в своем письме к Энестрему, из которого мы уже не раз цитировали. С точки зрения его новой теоретической конструкции трансфинитных чисел настаивать на необходимой связи понятия числа и конечного было уже абсурдно. И если тем более это используют для нужд теологии, то тогда последняя в опасности: «Я отнюдь не нахожусь в принципиальном противоречии с этими авторами, поскольку они стремятся к гармонии между верой и знанием; но я считаю совершенно непригодными средства, которыми они пользуются для этого. Если бы догматы веры нуждались для своего подтверждения в таком кардинально ложном тезисе, как положение о невозможности актуально бесконечных чисел (которое в известной формуле «numerus infinitus repugnat»[225] очень и очень древнего происхождения...), то их дела обстояли бы очень плохо»[226]. Отсюда вывод: новая математическая теория должна существенно изменить и богословскую аргументацию. Что, как мы видели выше, соответствовало и общим представлениям Кантора о взаимопонимании теологии и наук.

§ 5. К. Гутберлет о бесконечном

Особый интерес к науке вообще и к канторовской теории множеств в частности со стороны католических теологов был во многом обусловлен энцикликой папы Льва XIII Aeterni Patris (1879). Лев XIII (годы понтификата: 1878–1903) вошел в историю католической церкви как папа, старавшийся примирить церковь с современной цивилизацией. Этой цели были посвящены его послания, касающиеся различных вопросов социальной и культурной жизни. Такова, например, его знаменитая энциклика Rerum Novarum (1891), затрагивавшая актуальные моральные проблемы современного капитализма, отношений труда и капитала. В свою очередь, Aeterni Patris призывала к изучению философии, и в особенности трудов Фомы Аквинского. Лев XIII указывал в ней также на необходимость осмысления результатов современного научного знания, используя богатейшую традицию схоластической философии. Энциклика Aeterni Patris послужила толчком к энергичному возобновлению томистских штудий в различных областях современной культуры. Множество католических богословов начали профессионально изучать науку и искать ее осмысления в горизонте традиционной христианской теологии. В этом смысле совсем не удивителен был их интерес и к теории множеств Кантора, тем более что последняя толковала проблемы бесконечности  классической темы христианского богословия. Среди корреспондентов Кантора были известный немецкий неотомист К. Гутберлет (CGutberlet), иезуиты-томисты, занимавшиеся философией науки, Т. Пеш (TPesh) и Дж. Хонтхайм (JHontheim), известный исследователь схоластической философии и издатель трудов Бонавентуры И. Джейлер (IJeiler), доминиканец Т. Эшер (TEsser). Письма Кантора к двум последним мы уже не раз цитировали. В этом параграфе мы рассмотрим взгляды на бесконечное Константина Гутберлета и их оценку Кантором, который с 1883 г. имел переписку с этим теологом. Гутберлет активно интересовался естествознанием, читал лекции по философским вопросам науки. В 1878 г. он выпустил книгу «Бесконечное с метафизической и математической точки зрения»[227], в которой обсуждал как историю философски-богословских интерпретаций бесконечного, так и судьбу этого понятия в рамках математики. Книга была написана еще до знакомства Гутберлета с построениями Кантора. Переписка Гутберлета и Кантора была выгодна обоим корреспондентам: первый смог благодаря ей лучше уяснить сложные моменты теории множеств, второй  получать профессиональные консультации по истории «богословия бесконечности».

Однако позиция Гутберлета отнюдь не была тождественна канторовской. Если Кантор признавал актуально бесконечное существующим и в Боге, и в мире (Transfinitum), и в человеческом уме (трансфинитные числа), то Гутберлет признавал, строго говоря, только первое, бесконечность в Боге, отрицая, естественно, как убежденный томист, существование актуальной бесконечности в твари и с сомнением относясь к концепции трансфинитных чисел. Рассмотрим подробнее взгляды Гутберлета. В своей статье «Про­блема бесконечного»[228] он приводит некое «доказательство», почему актуально бесконечное не может существовать в мире. Доказательство это достаточно любопытно. Допустим противное: пусть, например, существует актуально бесконечная в обе стороны «ма­териальная прямая линия» (что-нибудь вроде бесконечной проволоки, пишет Гутберлет [229]). Вырежем из какой-нибудь ее части конечный кусок, а потом сдвинем оставшиеся две части к середине этого вырезанного интервала. Каждая из оставшихся частей в результате этого сдвига становится, по Гутберлету, конечной (!). Вообще говоря, Гутберлет признает абстрактную возможность того, что прямая (точнее, полупрямая) может быть ограничена с одной стороны, но бесконечна с другой. Однако в разбираемом примере эта возможность не может реализоваться. Почему? Потому что, с одной стороны, сдвиг прямой сохраняет ее длину, а с другой, «выдвижение» полупрямой из бесконечности уменьшает ее точно на величину, на которую мы ее сдвигаем, т.е. если даже она и была бесконечной, то после этого сдвига она будет «меньше бесконечности», будет «отстоять от бесконечности» как раз на эту величину. А последнее и означает, по Гутберлету, что она не будет уже бесконечной... Так как обе сдвинутые части конечны, значит, и исходная прямая, состоящая из трех конечных частей  вырезанный кусок и две оставшиеся части,  будет конечной. Что и требовалось доказать.

Для идеальной же прямой, т.е. прямой в «мире геометрии», это доказательство уже не проходит, отмечает Гутберлет. Идеальные прямые, по Гутберлету, нельзя двигать. Каждая линия, каждое геометрическое тело жестко связаны с точками пространства, из которых они состоят. Они неподвижны так же, как неподвижно, по Гутберлету, и само пространство. Их движение можно, строго говоря (философски говоря), понимать только одним способом: как построение на новом месте новой прямой (тела), конгруэнтной исходной. Итак, для томиста Гутберлета не существует актуально бесконечного тела, но в геометрии, как абстрактной математической дисциплине, рассматривать бесконечные прямые можно.

Существование актуально бесконечного в Божественном Духе Гутберлет признает также, как вся христианская богословская традиция, как признавал это и Кантор. Гутберлет дает четкие богословские формулировки, которые полезно привести здесь. Говоря о Боге, о Божественном Духе, мы признаем всеведение Бога и неизменность Его бытия. А это влечет за собой определенные следствия и для актуальной бесконечности. Так, если мы рассматриваем бесконечный ряд чисел, например последовательность десятичных знаков числа p = 3,14159..., то человеческое сознание актуально может схватывать только конечное число членов этого ряда, которые потенциально бесконечно могут входить в наше актуальное сознание. «В абсолютном же Духе в актуальном сознании всегда присутствует весь ряд, без какой бы то ни было возможности прироста в познании или в узрении нового члена этого ряда»[230]. Этот прирост познания невозможен именно потому, что мы отрицаем возможность всякого движения, всякого изменения в Боге. Это для нас, для человеческого сознания, актуально известно каждый раз лишь конечное число десятичных знаков числа p. В отношении этого числа это верно в особенности, потому что мы не имеем общей формулы для вычисления этих знаков, а лишь некоторый алгоритм, позволяющий нам последовательно находить их. Последовательность этих знаков выступает для нас в качестве потенциально бесконечной. Для Бога же вся бесконечная последовательность этих знаков дана разом и актуально, как актуальная бесконечность. Бог не может познавать нечто, Он просто знает его.

Хотя Гутберлет и признает существование актуально бесконечного в Божественном Уме, он тем не менее подозрительно относится к канторовской концепции трансфинитных чисел. «Я называл бесконечную дискретную величину скорее множеством, чем числом... так как выражение бесконечное число, согласно обычному, узкому значению слова число, содержит в себе, вообще говоря, противоречие. Потому что число, согласно своему смыслу, есть определенное множество, multitudo mensurata per unum [231]. Оно есть или 100, или 1000, или 10 000; бесконечная же величина не охватывается никаким специальным числом; невозможно указать, как много определенных единиц она содержит. Поэтому она не нуждается в определенности, которая важна для всякого [конечного.  В.К.] бытия; она определена уже через то, что находится выше любого определенного числа. Такую величину лучше называть множеством, чем числом»[232]. Конечно, подобный подход резко противоречил самому пафосу канторовской теории. Определенность бесконечности как того, что «находится выше любого определенного числа»,  подобные формулировки были для Кантора за­мшелым анахронизмом. Вся дерзость и все новаторство его теории в том и состояли, что он пытался продвинуться дальше этих общих и, в целом, достаточно банальных традиционных формулировок, пытался дать градации этой возвышающейся над всем бесконечности: различение трансфинитного и Абсолютного и осмысление трансфинитного как шкалы бесконечных чисел [233]. Позиция Гутберлета в этом отношении выражала традиционную богословскую установку, неотделимую от «охранительных» тенденций христианской теологии: не «зарваться слишком высоко», так сказать, в спекулятивных построениях о Боге, что было в высшей степени опасно, так как по опыту своей многовековой истории теология очень хорошо знала  ошибке в доктрине неизбежно приводят к порче духовной жизни и в конце концов к деформации самого религиозного идеала...

Гутберлет вместе с тем настойчиво критикует расхожие представления о том, что невозможность актуально бесконечного множества якобы достаточно очевидна. Некоторые богословы XIX в. видели непоследовательность в этом смысле даже у Фомы Аквината, который при обсуждении вопроса о начале мира не использует аргумента о невозможности бесконечной величины против сторонников вечного существования мира (ведь тогда величина протекшего времени была бы бесконечной). Правоверный томист Гутберлет подчеркивает, что Фома строго отличает только вероятные мнения от доказанных положений. Невозможность актуально бесконечной величины была для Фомы именно вероятным мнением и не могла использоваться для строгого доказательства. В этом же смысле ошибаются, по Гутберлету, и те, которые критикуют Фому за неиспользование невозможности актуально бесконечного ряда во втором его доказательстве бытия Божия, где Бог оказывается первопричиной в конечном ряду причин. Вопрос о возможности или невозможности актуально бесконечной величины открыт для Фомы, но рассуждение о необходимости первопричины вполне достоверно и без решения этого вопроса [234]. Кстати, Кантор также отмечает этот момент в своей статье «О различных точках зрения на актуально бесконечное» (ссылаясь при этом на Гутберлета): «Ес­ли бы догматы веры нуждались для своего подтверждения в таком кардинально ложном тезисе, как положение о невозможности актуально бесконечных чисел,... то их дела обстояли бы очень плохо. Мне кажется поэтому весьма замечательным то, что св. Фома Аквинский в I p., q. 2, a. 3 своей «Summa theologica», где он доказывает с помощью пяти аргументов существование Бога, не пользуется вовсе этим ложным тезисом, хотя он вообще отнюдь не противник его; но во всяком случае для преследуемой им цели он показался ему малонадежным (ср.: Gutberlet, Constantin. Das Unendliche metaphysisch und mathematisch betrachtet. Mainz, 1878, S.9)»[235]. Следует, однако, заметить, что у Фомы и Гутберлета речь идет о бесконечной величине, а Кантор прямо связывает это со своими трансфинитными числами.

Гутберлет затрагивает также еще одну очень важную философскую тему, о которой мы уже говорили выше [236]. Противникам актуальной бесконечности Гутберлет указывает, что сама возможность потенциальной бесконечности уже влечет за собой и признание актуальной, или, как выражается сам немецкий теолог, «понятие потенциально бесконечного включает в себя понятие актуально бесконечного»[237]. Когда мы говорим о потенциальной бесконечности, например о бесконечно возрастающем ряде натуральных чисел, то мы имеем в виду, что любое достигнутое число, как бы велико оно ни было, может быть превзойдено следующим. Мы говорим тем самым о безграничном, бесконечном возрастании. «Но как должно,  спрашивает Гутберлет,  понимать это безграничное, бесконечное  потенциально или актуально? Здесь нет чего-то среднего; в первом случае получается невозможность определения [потенциально бесконечного.  В.К.], во втором  потенциально бесконечное предполагает актуально бесконечное»[238]. Само «бес­конечное возрастание» потенциально бесконечной величины не может быть уже потенциальным, т.к. тогда непонятна его, так сказать, «сила» и если эта «сила» конечна и переменна, то естественно возникает вопрос о возрастании этой силы, т.е. о бесконечности возрастания возрастания и т.д. Этот неопределенный ряд мы можем прервать (и устранить) только одним способом: признать бесконечную возможность возрастания актуально существующей. Этот важный момент отмечал у Гутберлета и Кантор: «Г-н проф. Гутберлет настойчиво и успешно указывает... на зависимость потенциальной бесконечности от лежащей в основе актуальной бесконечности. Он правильно сделал ударение на то, что a parte rei [239] собственно уже не существует никакой потенциальной бесконечности»[240].

Специфика позиции Гутберлета как томиста, отметим это еще раз, состояла в том, что он хотя и отрицал существование в тварном мире актуально бесконечного множества и актуально бесконечных величин, однако в сфере возможного подобное существование допускал. В частности, и в математике. Однако какие-либо градации в актуально бесконечном Гутберлету не были понятны. «В различных местах у Гутберлета...  пишет Кантор,  я обнаруживаю совершенно неприемлемый тезис, что в «понятии величины, мыслимой бесконечной, содержится исключение какой-либо возможности увеличения». Это может случиться лишь для абсолютно бесконечного; трансфинитное же, хотя оно и представляется определенным и большим всякого конечного, разделяет с конечным свойство быть неограниченно увеличиваемым»[241].

В целом, с позиции своего конструктивного подхода к актуально бесконечному, Кантор невысоко оценивал работы Гутберлета: «Что касается Гутберлета, которого я совсем недавно достал,  писал создатель теории множеств своему корреспонденту математику Ласвицу в 1884 г.,  то ему не хватает необходимых средств, чтобы понятийно через число фиксировать и схватить категориматически-бесконечное [242]; оно [категориматически-бесконеч­ное.  В.К.] выступает у него,  так же как и у его предшественников схоластов Де Арриги, Маньяна и т.д.,  в слишком тесной связи с синкатегориматическим бесконечным и во многих местах даже смешивается с последним, как ясно следует из приводимых им примеров. Тот, например, кто ищет собственно-бесконечное в дифференциалах (которые понимаются никак не иначе, как изменяющееся конечное), никогда не найдет его[243]

§ 6. Переписка с кардиналом Францелином

В высшей степени интересна также переписка Кантора с кардиналом И. Францелином (JFranzelin), знаменитым австрийским иезуитом, одним из основных теологов I Ватиканского Собора. Кантор обращается к Францелину в декабре 1885 г.: посылает ему оттиски своей статьи «О различных точках зрения на актуально бесконечное». В кратком сопроводительном письме [244] он просит кардинала дать оценку «с точки зрения христианско-католических философов» того тройственного подхода к бесконечности, который мы обсуждали уже выше: Абсолютное  актуально бесконечное в Боге; актуально бесконечное в природе, или Транфинитум; и актуально бесконечное in abstracto  трансфинитные числа. Кантор прекрасно представлял, на каких он «играет струнах»: само это четкое разделение трех разных аспектов должно было сразу успокоить и расположить к себе теологов  теория множеств не посягает на догматические области теологии, не претендует спекулировать о внутрибожественной жизни. Это разделение было несомненным позитивом общего канторовского подхода. Францелин хорошо понял это и отметил здесь богословскую корректность канторовских рассуждений: «В Вашем ученом эссе "О проблеме Актуально-бесконечного" я с удовлетворением вижу, что Вы очень верно различаете Абсолютно бесконечное и то, что Вы называете Актуально-бесконечным в творении. Потому, что Вы определенно заявляете, что последнее доступно еще большему увеличению (ес­тест­венно неопределенному (in indefinitum), то есть никогда не становясь неспособным к еще большему увеличению), и противопоставляете его Абсолютному как "существенно не подверженному увеличению", которое, очевидно, должно таким же образом обладать возможностью и невозможностью уменьшения или вычитания; таким образом, две концепции Абсолютно-бесконечного и Актуально-бесконечного в тварном, или Transfinitum, существенно различны, так что, если их сравнивать, только одна должна быть названа собственно Бесконечным, а другая  несобственно и несовершенно Бесконечным. До этого момента, насколько я представляю, никакой опасности для религиозных истин в Вашей концепции Трансфинитного не содержится»[245].

Опасность подстерегала с другой стороны. Уже в первом коротком ответе-благодарности кардинал Францелин после шутливого и подобающего сану короткого пожелания («Пусть Бог, истинная Бесконечность, откроет ему [т.е. Кантору.  В.К.] единственную необходимую истину, потребную для конечного спасения»[246]) делает существенное замечание в отношении бесконечного в творении: «Я могу мало уделить времени метафизическим дискуссиям в настоящее время; однако признаюсь, что, по моему мнению, то, что автор называет "Transfinitum in natura naturata"[247], не могло бы быть оправданно и в определенном смысле,  хотя, по-видимому, автор и не имеет его в виду,  заключало бы в себе ошибку пантеизма»[248]. Обостренное богословской работой зрение сразу подсказало кардиналу скользкий пункт в канторовских рассуждениях. Мы говорили уже выше, как было важно для Кантора найти подтверждения реального существования актуально бесконечных множеств. Не только возможности их  для которой достаточно было логической непротиворечивости,  но и действительности. Эту действительность Кантор пытался обнаружить через естествознание, и мы видели, что практически это были не факты, а лишь «прожекты»  программы применения теории множеств к проблемам естественных наук. Второй путь был теологический: попытаться доказать в рамках традиционной теологии необходимость сотворения актуально бесконечных множеств и, следовательно, их реального существования... Кантор писал об этом в своей корреспонденции неоднократно. Однако в переписке с кардиналом Францелином его поджидала неудача: раскрылись довольно неприятные импликации «теологического применения».

В ответ на подозрения в пантеизме Кантор ответил довольно длинным письмом (22.01.1886). В нем он подтвердил прежде всего, что употребляет термины в традиционном томистском смысле, в частности понимая под Infinitum creatum или Transfinitum актуально бесконечное в природе. Кантор признается здесь: вслед за Лейбницем он придерживается точки зрения, что Творец создал актуально бесконечное количество отдельных существ, «как во всей Вселенной, так и на нашей Земле и, по всей вероятности, в любой произвольно малой протяженной части пространства»[249]. Кантор признает, что его мнение противоположно общепринятому среди христианских теологов: «Хотя я знаю, что если не все, то большинство учителей церкви оспаривают учение об Infinitum cre­a­tum и что, в частности, в "Summa theol." (p. 1, q. 7, a. 4) великого св. Фомы Аквинского приведены против него некоторые мнения, однако доводы, которые в результате двадцатилетней работы над этим вопросом предстали передо мной с властной силой  я могу сказать против воли, ибо они противоречили глубоко почитавшейся мною традиции,  которые в известном смысле завладели мной, оказались сильнее, чем все то, что до сих пор высказывалось против этого учения, хотя я и подверг это внимательному испытанию»[250]. Что же это за неопровержимые доводы, властной силе которых не смог противостоять Кантор и которые были совершенно неизвестны многовековой традиции христианского богословия? Прежде всего это сама канторовская конструкция трансфинитных чисел. Но, подождите, ведь мы же искали подтверждения ей в теологии?.. В том и состоит странная логика утверждения этой новой теории, что ее нужда, отсутствие подтверждений, вдруг разом обращается в добродетель: «многообещающие» новые проекты ее применения. Посмотрим, как это делается в теологии [251]. «Я думаю также,  продолжает Кантор в обсуждаемом письме,  что слова Священного Писания, как, например, "Omnia in pondere, numero et mensura disposuisti"[252], в которых видят противоречие с актуально бесконечными числами, не имеют этого смысла. Ведь если предположить, что существуют  как, по моему мнению, я это доказал  актуально бесконечные «мощности», т.е. кардинальные числа, и актуально бесконечные «количества вполне упорядоченных множеств», т.е. порядковые числа (причем оба эти понятия, как я обнаружил, глубоко различны в случае актуально бесконечных множеств, тогда как в случае конечных множеств это различие едва заметно), то надо думать, что эти трансфинитные числа совершенно определенно подразумеваются в процитированном священном тексте. Поэтому, если желают избегнуть порочного круга, не следует, по-моему, пользоваться этим текстом в качестве аргумента против актуально бесконечных чисел» [выделено мной.  В.К.] [253]. Любопытна логика этого фрагмента: «если предположить, что существуют...»  если предположить, то будем, конечно, исходить из этого предположения, но ведь его и нужно было доказать! «Как, по моему мнению, я это доказал...»  но если доказал, то зачем тогда предполагать? И почему доказал лишь «по моему мнению»? Если доказал, то мнение здесь уже ни при чем... Из вышеизложенного мы знаем причину этой неуверенности: «я доказал» относится только к чисто логической состоятельности канторовских трансфинитных чисел, их непротиворечивости, их увязанности с другими традиционными объектами математики. Уже логическая законность спекулятивных конструкций с актуальной бесконечностью в теории множеств, т.е. чисто логическая состоятельность теории, признавалась далеко не большинством математиков. И, как оказалось в дальнейшем, Кантора поджидали здесь сокрушительные разочарования [254]. Существование же актуально бесконечных множеств  реальное, как материальных вещей, как сотворенной Богом космической действительности,  могло отсюда следовать только в результате применения далеко не для всех очевидного философского постулата: совпадения имманентной и транзиентной реальности математических конструкций, как выражался сам Кантор [255]. Поэтому «доказал» приходится комбинировать с «по моему мнению» и с «если предположить». Если предположить реальное существование актуально бесконечных множеств, тогда, действительно, «надо думать, что эти трансфинитные числа... подразумеваются в ... священном тексте». И тогда, действительно, финитистское толкование этого текста становится порочным кругом: мы де утверждаем на основании него, что все в мире конечно, предварительно вложив в слово «число» исключительно конечный смысл. Но ведь если мы не доказали, а предположили только существование актуально бесконечных множеств вещей, круг становится не менее порочным!.. Что предположили  то и получаем!.. Это напряжение между «я доказал» и «если предположить», постоянно воспроизводимое в настойчивых попытках Кантора убедить в состоятельности своей теории, ярко характеризует то особое, «взвешенное» состояние, в котором она находилась. Состояние одновременно соблазнительное и раздражающее...

Кантор все это прекрасно осознает, поэтому далее в письме к кардиналу Францелину предлагает еще новые подходы: «Что In­fi­ni­tum creatum все же нужно принимать за существующее  это можно доказать разными способами. Чтобы надолго не задерживать Ваше Преосвященство на этом вопросе, ограничусь лишь двумя намеками. В одном доказательстве исходят из понятия Бога и умозаключают прежде всего от высшего Совершенства Божественного Бытия к возможности сотворения Transfinitum ordinatum, а затем от Его Всеблагости и Величия к необходимости фактически последовавшего сотворения Transfinitum. Во втором доказательстве, a posteriori, показывается, что допущение Transfinitum in natura naturata дает лучшее, т.е. более совершенное объяснение явлений, в особенности организмов и психических явлений, чем противоположное допущение»[256]. Что касается второго доказательства, a posteriori, то мы уже видели выше: речь идет не о доказательствах, а о некоторых проектах Кантора по применению теории множеств в естествознании. На первом же «намеке», являющемся чисто теологическим рассуждением, кардинал Францелин, вопреки желанию Кантора, задержался всерьез. «В одном же вопросе Вы с полной несомненностью заблуждаетесь в отношении совершенно бесспорной истины; эта ошибка, однако, следует не из Вашей концепции Transfinitum, а из неправильной концепции Абсолютного»[257] пишет кардинал по поводу этого «доказательства» в ответном письме. Рассмотрим это подробнее.

То подозрение в пантеизме, которое в первом письме кардинала было лишь объявлено, здесь уже представлено в развернутой форме. Это стало возможно немедленно, как только Кантор изложил свои доказательства. Теологическое доказательство существования Infinitum creatum состоит у Кантора из двух частей:

от Божественного совершенства к возможности сотворения Transfinitum,

от всеблагости и величия Божия к необходимости фактического сотворения.

Что касается первого, то кардинал, вообще говоря, согласен с Кантором: «В Вашем уважаемом письме ко мне Вы вначале правильно говорите (при условии, что Ваша концепция Transfinitum не только религиозно безопасна, но и верна, о чем я не могу судить), что одно доказательство исходит из идеи Бога и прежде всего выводит из высшего Совершенства Божественного Бытия возможность сотворения Transfinitum ordinatum. Предполагая, что Ваше Transfinitum Actuale не содержит в себе противоречия, Ваше заключение о возможности творения Transfinitum, исходя из представления о Божественном Всемогуществе, совершенно корректно»[258]. Кардинал согласен с возможностью творения трансфинитного при условии его непротиворечивости. Что же касается действительности этого творения, другими словами, реального существования актуально бесконечных множеств (вещей), то здесь возникают серьезные возражения. Первое связано с утверждаемой Кантором необходимостью: «Я только сожалею о том, что Вы идете дальше и заключаете «от Его Всеблагости и Величия к необходимости фактически последовавшего сотворения Transfinitum». Именно потому, что Бог в Себе есть абсолютно бесконечное Благо и абсолютное Величие, Благость и Величие которого ничто не может ни увеличить, ни уменьшить,  необходимость творения, какой бы она ни была, содержит в себе противоречия, а свобода творения несомненна, как необходимое Совершенство Бога, как и все Его другие Совершенства, или, лучше, бесконечное Совершенство Бога содержит в себе (согласно нашим необходимым дистинкциям) Свободу так же, как и Всемогущество, Мудрость, Справедливость и т.д.»[259] Свобода творения  аксиома христианского богословия. Мир, жизнь, бытие есть Божий дар, а не следствие необходимости. Стараться «за счет Бога», за счет Его Всемогущества доказать необходимость существования чего-то есть в высшей степени дерзкая навязчивость по отношению к Богу, как бы сильно этого ни хотелось кому-то... А главное, эта навязчивость с неизбежностью ведет к искажению представлений о Боге и творении: «На основании Вашего вывода о необходимости творения Transfinitum Вы вынуждены будете пойти еще дальше. Ваше Transfinitum Actuale доступно увеличению; тогда если бесконечная Божественная Благость и Могущество действительно с необходимостью требуют творения Transfinitum, то, на совершенно том же основании бесконечности Его Всеблагости и Могущества, следует и необходимость увеличения до такой степени, чтобы больше уже было бы невозможно увеличивать, что противоречит Вашей собственной концепции Transfinitum. Другими словами: тот, кто выводит из бесконечности Благости и Могущества Божия необходимость творения, должен утверждать, что все, способное быть сотворенным, действительно уже сотворено в вечности и что перед взором Божиим не остается ничего возможного, что Его Всемогущество могло бы призвать к существованию»[260]. Из канторовской необходимости встает угрожающий призрак пантеизма. Если по необходимости все возможное уже сотворено от вечности, то материальный мир  совечен Богу; с другой стороны, все сотворенное все по той же логике необходимости должно быть совершенным в высшей степени; но что совершеннее Самого Бога? Значит, сотворенный мир должен быть божественным... Кардиналу Францелину, думаю, было не очень сложно обнаружить подобные импликации в канторовских рассуждениях. История богословия, как на Западе, так и на Востоке, постоянно имела дело с фундаментальной познавательной проблемой: как не подменить человеческой спекуляцией истинного познания реальности, Бога. И здесь был накоплен богатый опыт.

Ирония состояла в том, что в своем предыдущем письме Кантор самоуверенно заявлял: «Взгляды,... которые я развивал в течение многих лет, никогда не отклоняли меня от фундаментальных истин христианства, но скорее укрепляли меня в них; в очень малой степени я нахожусь и в гармонии с современными философскими школами, напротив, я нахожусь в борьбе с большинством из них; нет системы, более далекой от моих существенных убеждений, чем пантеизм, не считая материализма, с которым я не имею ничего общего. Я верю, однако, касательно пантеизма, что его возможно полностью преодолеть в свое время и, вероятно, только с помощью моей концепции материи»[261]. Однако пантеизм оказался гораздо ближе. Причиной было желание связать Бога необходимостью... Францелин заканчивает свою критику канторовской «не­об­хо­ди­мости творения» следующим образом: «Это Ваше несчастное мнение о необходимости творения будет очень мешать Вам, и в Вашей достойной похвалы борьбе против пантеизма также, и по меньшей мере ослабит убеждающую силу Ваших аргументов. Я так долго остановился на этом моменте потому, что я в высшей степени искренне желаю, чтобы Ваша глубокая проницательность освободилась бы от этой роковой ошибки, в которую впадали, конечно, и многие другие великие умы, даже из числа тех, которые считали себя ортодоксами»[262].

Кардинал Францелин просил Кантора в конце письма прекратить переписку, т.к. у него нет на это времени, во всяком случае по вопросам богословских аспектов теории множеств. Кантор тем не менее, вероятно сразу по получении письма от кардинала, посылает (через 3 дня) небольшую последнюю записку, стараясь как бы оправдаться против выдвинутых обвинений. Оправдание получилось, однако, достаточно жалкое: «В кратком указании в моем письме от 22 января я отнюдь не имел в виду говорить об объективной, метафизической необходимости акта творения, которой был бы подчинен Бог, абсолютно Свободный. Я хотел лишь указать на некоторую субъективную необходимость для нас умозаключать от Всеблагости и Величия Бога к фактически последовавшему (а не долженствовавшему последовать a parte Dei [263]) сотворению не только Finitum ordinatum, но и Transfinitum ordinatum»[264]. «Субъективная необходимость для нас» ничего не меняет, если она есть все равно необходимость для Бога сотворить Trans­finitum. Эта метафизическая, как выражается Кантор, необходимость просто прикрыта здесь другими словами... Переписка на этом прекратилась. В этом же 1886 г. кардинал Францелин умер.

Подведем итог. Кантору не удалось найти богословской «под­пор­ки» для своей теории множеств. Причем положение усугублялось тем, что речь шла о самом исходном, самом насущном: реальном существовании хотя бы одного актуально бесконечного множества... Попытки дать теологические доказательства оказывались на самом деле «прожектами» уже в богословской сфере: для того, чтобы оправдать свою теорию, Кантор, по существу, деформировал традиционное христианское представление о Боге. На что, естественно, профессионалы теологи давали немедленный, ответственный и обоснованный отпор. Канторовские построения в теологии, к несчастью, не кончились на этом. Мы будем еще иметь возможность вернуться к ним ниже.


Глава V

Классические проблемы теории множеств

§ 1. Проблема континуума и континуум-гипотеза

Дискуссии вокруг оснований теории множеств естественно подводили к вопросу о научной легальности не только самой этой теории, но и шире  о границах научного, и математического в частности, познания вообще. Наиболее острые споры были связаны с обсуждением основных проблем теории множеств: континуум-гипотезы, проблемы обоснования аксиомы выбора, попыток преодоления так называемых парадоксов теории множеств. Здесь мы конкретно можем увидеть, насколько трудны и порой непроходимы оказались те «дороги свободы», которые предложила математике теория множеств Кантора. Рассмотрим эти вопросы ближе.

Проблема континуума задала одно из центральных направлений развития теории множеств, а континуум-гипотеза стала одной из наиболее привлекающих внимание математиков XX столетия задач. В списке важнейших математических проблем, представленных Д. Гильбертом в 1900 г. на II Международном конгрессе математиков в Париже, континуум-гипотеза стояла первой. Континуум-гипотеза непосредственно связана с фундаментальной двойственностью самих оснований математической науки. Основными объектами математики являются число (натуральное) и пространство, и все содержательные результаты этой науки суть то или иное «соединение» одного начала с другим. Откуда возникает естественное стремление попытаться объединить число и пространство, дискретность и непрерывность в чем-то третьем, найти какой-то общий род, отдельными видами которого являлись бы эти два начала. «Преодоление пропасти между областью дискретного и областью непрерывного, или между арифметикой и геометрией, есть одна из главных  пожалуй, даже самая главная  проблем оснований математики»,  пишут А. Френкель и И. Бар-Хил­лел[265]. Ближайшим образом эта задача выступала (исто­ри­чес­ки) как проблема арифметизации геометрии. Решение ее оказалось отнюдь не из легких. Уже античная математика обнаруживает здесь серьезные препятствия. Существуют несоизмеримые отрезки, и поэтому длины некоторых отрезков невозможно выразить через целое число длин единичного отрезка или его частей. Античная математика, чтобы обойти эти трудности, находит здесь удивительно изящные приемы: общую теорию отношений и метод исчерпывания. Но существенно, что эти новые приемы используют уже актуальную бесконечность.

Следующий этап в решении проблемы арифметизации геометрии связан с изобретением в XVII в. аналитической геометрии. Последняя выдвинула новый взгляд на геометрию. Вместо античного понимания этой науки, где созерцание играло принципиально неустранимую роль, Декарт предлагает некое исчисление отрезков, которое должно было, в принципе, решить все возможные геометрические задачи [266]. Но тем самым задача арифметизации геометрического пространства, сведения его к чисто числовой конструкции вставала еще острее. Возникающее также в XVII столетии дифференциальное и интегральное исчисление рассматривали геометрические конструкции в «бесконечно малом»[267] и делали проблему арифметизации пространства еще более актуальной. Однако проблема эта не поддавалась решению почти три века. И только во второй половине XIX в. появляются арифметические теории действительных чисел (Вейерштрасс, Дедекинд), позволяющие каждой точке пространства поставить в соответствие число. Они также существенно используют актуальную бесконечность. Кантор, последовательно и настойчиво проводя программу сведения всей математики к теоретико-множественным конструкциям, завершает всю эту линию развития, обнаруживая вместе с тем и непреодолимые апории, к которым она приводит. Хотя, конечно, следует отметить, что создатель теории множеств характерно отклонился от того направления, в котором традиционно стремились решить проблему преодоления противоположности между числом и пространством. Кантор ищет не «арифметизации геометрии», а более радикального сведения этих противоположностей к единой под-лежащей сущности. «Кантор желает  как он сам мне говорил на съезде естествоиспытателей в Касселе,  писал Ф. Клейн,  достигнуть "ис­тин­ного слияния арифметики и геометрии" в учении о множествах, другими словами, он желает представить учение о целых числах, с одной стороны, и теорию различных образов, с другой стороны, а также еще многое другое как равноправные и объединенные главы общего учения о множествах или совокупностях»[268].

В вопросе о континууме Кантор был убежденным противником понимания его как некой данности, как некой априорной формы мышления (идеи ли или в кантовском смысле, как априорной формы созерцания,  безразлично). Кантору нужна была конструкция континуума; только она могла бы, с одной стороны, удовлетворить насущные нужды развивающейся математики, а с другой  вписаться в ту общефилософскую перспективу, в которой осознавал науку Кантор: понять  значит сконструировать. Поэтому создателя теории множеств не удовлетворяют концепции континуума у Аристотеля и Фомы Аквинского: обе они исходили из некой предзаданности идеи континуума, некоего неразложимого созерцания. «Всякая арифметическая попытка определения этой тайны рассматривается как незаконное посягательство и с соответствующей энергией отвергается. Робкие натуры испытывают при этом впечатление, как если бы в вопросе о континууме речь шла не о математико-логическом понятии, а о каком-то религиозном догмате»[269]. Кантор не был робкой натурой и вопреки тысячелетней традиции старался дать конструктивную модель континуума. Конечно, его не могла также удовлетворить и атомистическая модель, восходящая еще к Эпикуру и Лукрецию.

Вопрос, согласно Кантору, мог ставиться только в терминах теории множеств: если в арифметическом пространстве n измерений задано некоторое множество Р, то при каком условии его можно назвать континуумом? Кантора вдохновляли на этом пути некоторые полученные им результаты по разложению точечных множеств. Во-первых, это была теорема о равномощности всех n-мерных пространств. Значит, как бы [270] все проблемы n-мерных множеств сводились к проблемам точечных множеств на прямой. Во-вторых, Кантор нашел некоторые множества, названные им совершенными, которые, казалось, выделяли существеннейшие свойства континуума. Примером канторовского совершенного множества может быть следующая конструкция:

 

Рис. 4

 

Из сегмента [0; 1] на прямой мы выбрасываем среднюю треть: интервал (; ). Потом из оставшихся сегментов [0; ] и [; 1] мы также выбрасываем средние трети: интервалы (; ) и (; ). Далее из оставшихся сегментов мы опять выбрасываем средние трети и продолжаем этот процесс до бесконечности. То, что остается в результате [271], называется канторовским совершенным множеством. Непосредственно видно, что множество получается очень «разреженным», на первый взгляд кажется даже, что в нем вообще ничего не остается. Но в то же время очевидно, что точки 0, , , , , , например, войдут в предельное множество. Более того, оказывается, это предельное множество будет несчетным, и его мощность будет равна мощности континуума, т.е. мощности точек на исходном сегменте [0; 1]. Канторовское совершенное множество обладает, кроме того, еще тем замечательным свойством, что каждая его точка является так называемой точкой конденсации. Это означает, что в любой окрестности этой точки содержится бесконечное несчетное множество других точек этого же совершенного множества. Это свойство, по Кантору, должно было как бы представить теоретико-множественную модель «плотности» континуума.

Для полного же описания свойств континуума важно еще одно свойство: связность. Множество Т связно, по Кантору, если любые две его точки можно соединить ломаной с вершинами, также принадлежащими этому множеству, и с длинами звеньев меньше любого наперед заданного e. «По моему мнению,  пишет Кантор,  эти два предиката  "совершенный" и "связный"  представляют собой необходимые и достаточные признаки континуума, и поэтому я определяю точечный континуум в Gn [ в арифметическом n-мерном пространстве.  В.К.] как совершенное связное множество. Здесь "совершенный" и "связный"  не просто слова, а вполне общие предикаты континуума, понятийно охарактеризованные самым строгим образом при помощи предыдущих определений»[272]. Канторовские построения в теории точечных множеств оказали существенное влияние и на другие разделы математики, в частности топологию. Однако должно прямо признать, что:

1) канторовское определение континуума есть только некоторая частная модель континуума;

2) говоря о необходимых и достаточных признаках континуума, Кантор, вопреки своему желанию, признает, что имеет в виду некоторую интуицию континуума, вопрос о философском смысле которой остается открытым;

3) открытым, следовательно, остается и вопрос о соответствии интуиции континуума его конкретным моделям, в частности канторовской.

В этой же работе 1883 г. «Основы общего учения о многообразиях», из которой мы только что цитировали, Кантор объявляет, что надеется вскоре доказать, что мощность множества точек континуума в точности равна мощности так называемого второго числового класса. Это утверждение и называется континуум-ги­по­те­зой. По-другому это записывают обычно следующим образом:

2a0 = a1.

Слева здесь стоит мощность стандартной числовой модели континуума, а a1 представляет собой первое кардинальное число, следующее за a мощностью счетного множества.

Канторовские надежды на быстрое доказательство этого результата оказались несостоятельными. Более того, переписка Кантора показывает, какие титанические усилия прилагал он для решения проблемы и какие сокрушительные разочарования, взлеты и падения пришлось ему здесь пережить, переходя  временами лишь в течение одного месяца  от полной уверенности в доказанности результата к обнаружению ошибки в доказательстве и потом  к такой же полной уверенности в ложности континуум-гипотезы... Некоторые биографы считают, в частности, что именно перенапряжения и неудачи с доказательством континуум-гипотезы послужили причиной возникновения тяжелой психической болезни Кантора.

Как показала история, трудности с континуум-гипотезой имели достаточно объективную природу. В 1908 г. Э. Цермело сумел сформулировать аксиоматику теории множеств, что позволило начать исследования оснований теории множеств с помощью параллельно развивающихся методов математической логики. В 1931 г. К. Гедель доказал свою знаменитую теорему о неполноте, которая утверждала, что в любой достаточно богатой логической системе, содержащей, как минимум, элементарную арифметику, существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью методов этой же системы. Возникло подозрение, что канторовская континуум-гипотеза является как раз подобным утверждением. В 1963 г. П. Коэн доказал этот результат: было показано, что континуум-гипотеза независима от системы аксиом теории множеств ЦермелоФренкеля. Другими словами, континуум-ги­по­те­за не может быть ни доказана, ни опровергнута в теории, опирающейся на эту систему аксиом. Коэн вообще склонялся к тому, что континуум-гипотеза, скорее всего, не верна. Дело в том, что a1, мощность второго числового класса, представляет собой множество всех упорядочений счетного множества. Они получаются с помощью достаточно элементарных операций над ординальными числами применением так называемых первого и второго принципов порождения чисел (при­бав­ле­ния единицы и взятия пределов фундаментальных последовательностей). С другой стороны, мощность континуума 2a0 есть мощность достаточно богатого множества функций на a0. Коэн пишет: «Таким образом, С [273] больше, чем an, aw, aa, где a = aw, и т.д. С этой точки зрения С рассматривается как невероятно большое множество, которое дано нам какой-то смелой новой аксиомой и к которому нельзя приблизиться путем какого бы то ни было постепенного процесса построения. Быть может, следующие поколения научатся яснее видеть эту проблему и выражаться о ней более красноречиво»[274]. Читая эти строки, невозможно не вспомнить о предшествовавших поколениях. Эта несводимость континуума к некоторой постепенной конструктивной процедуре, о которой говорит Коэн, как бы воскрешает античное и средневековое представление о континууме как неразложимой исходной данности, как о естественном пределе человеческой аналитической способности. Несмотря на дерзкое предприятие множества «неробких натур»  и прежде всего самого создателя теории множеств Кантора  представить континуум как некоторую аналитическую конструкцию, после целого века дискуссий наука как бы возвращается к исходной, впрочем, подтвержденной тысячелетним опытом размышлений, точке зрения. Наука как бы делает круг, еще раз подтверждая, что познание  это прерогатива не только науки, но и мудрости.

§ 2. Аксиома выбора

Кантор страстно стремился доказать континуум-гипотезу. В случае, если бы это удалось сделать, была бы не только подтверждена эффективность методов новой теории множеств. Это доказательство служило бы оправданием и более принципиальной тезы: той философско-научной программы, сторонником которой счи­тал себя Кантор. Тысячелетия континуум рассматривался как некая данность, как некое неразложимое далее a priori. Если бы удалось доказать континуум-гипотезу или в ее исходной форме, или в более широкой, например

2a 0 = an

для какого-нибудь натурального n, то тогда континуум, непрерывное было бы отождествлено с некоторым вполне упорядоченным множеством, было бы, так сказать, сложено из точек. Напомним, что вполне упорядоченным множеством называют упорядоченное множество, каждое подмножество которого имеет наименьший элемент [275]. Специальное выделение вполне упорядоченных множеств нужно было Кантору потому, что два вполне упорядоченных множества всегда можно сравнить между собой: отобразить одно на часть другого. Из этого следует сравнимость соответствующих этим множествам ординалов. А из последнего  и сравнимость соответствующих ординалам кардиналов, т.е. мощностей множеств. Значит, любые мощности  а значит, и мощность континуума, и алефы  сравнимы, если соответствующие им множества можно вполне упорядочить. Но как это сделать для конкретных множеств, вообще говоря, непонятно. В частности, одномерный континуум, например интервал действительных чисел (0; 1), взятых в их естественном упорядочении по величине, не является вполне упорядоченным множеством. Например, подмножество чисел <x<не имеет наименьшего элемента.

Множество рациональных чисел Q = {} в его естественном упорядочении по величине также не является вполне упорядоченным множеством. Но его можно упорядочить по-другому. Расположим все рациональные числа Q в следующую таблицу:

 

 

А теперь присвоим каждому рациональному числу номер, пересчитывая их «по диагоналям»: q1=, q2=, q3=, q4=, q5=, q6=... Заметим, что некоторые элементы таблицы придется пропускать, так как они уже встречались раньше. Так, q5==3, а не , потому что 1 уже встречалась в нашем ряду. Теперь определяем новый порядок так: qn < qm, если n < m. В этом новом упорядочении Q уже будет вполне упорядоченным множеством. Это нетрудно показать: всякому подмножеству из Q теперь соответствует некоторое подмножество натуральных чисел N, а именно  множество номеров, соответствующих q. Но в любом множестве номеров есть наименьший [276]. Тогда рациональное число с этим наименьшим номером и будет наименьшим в смысле нашего нового упорядочения.

В этом примере существенно то, что Q есть счетное множество, т.е. его можно поставить во взаимно однозначное соответствие с N. Таким же образом можно вполне упорядочить любое счетное множество. Но Кантор показал, что континуум есть несчетное множество. Поэтому для его упорядочения нужны были какие-то другие методы. Однако надежду на то, что множество всегда может быть вполне упорядочено, разделяли далеко не все. Так, в 1903 г., когда теория множеств уже пользовалась достаточной популярностью, Б. Рассел заявлял: «Верно, Кантор считает законом мышления то, что всякое определенное множество может быть вполне упорядочено; однако я не вижу оснований для этого мнения»[277].

Нетрудно в свете этого понять, каким ударом для Кантора был доклад математика из Будапешта Ж. Кенига на III Международном конгрессе математиков в Гейдельберге в 1904 г. Кениг утверждал, что мощность континуума не равна никакому алефу. И тем самым, в частности, подрывалась вера в молчаливо принятую Кантором предпосылку, что любое множество может быть вполне упорядочено. А от этой предпосылки зависела, как мы уже говорили, сравнимость ординалов и мощностей, т.е. существование той шкалы «бесконечных чисел», которая как бы и аккумулировала в себе весь научный и философский пафос теории множеств.

Но уже в том же 1904 г. ученик Кантора Э. Цермело предложил доказательство теоремы о том, что любое множество может быть вполне упорядочено. Дискуссия перешла в новую фазу. В результате этой дискуссии в теореме Цермело был обнаружен слабый пункт. Доказательство опиралось на следующее положение: дана некоторая, вообще говоря, бесконечная совокупность множеств; существует функция, ставящая в соответствие каждому множеству из этой совокупности определенный элемент этого же множества. Или, проще говоря, в бесконечном множестве множеств можно осуществить процедуру выбора в каждом из этих множеств одного элемента. При всей, казалось бы, очевидности этого положения с ним соглашались далеко не все. Резко против выступили, в частности, французские математики: Э. Борель, Р. Бэр, А. Лебег. Сомнения вызывали в основном два момента. Во-первых, если речь идет о бесконечной последовательности выбора элементов, то сразу встает вопрос о том, как это реализовать во времени; если же предполагать все выборы совершающимися одновременно, то опять здесь нужна какая-то поясняющая конструкция. Во-вторых, выбор одного элемента из произвольного множества представляет собой действительную логическую проблему. Если элементы никак не упорядочены,  а именно такова ситуация в теореме Цермело, где еще только строят упорядочение,  то они как бы и неразличимы и выделить какой-то один не представляется возможным.

В силу принципиальной важности этого положения для теории множеств оно получило название аксиомы выбора (или аксиомы Цермело) и вошло в число семи аксиом теории множеств, предложенных также Цермело в 1908 г. Довольно быстро было обнаружено, что аксиома Цермело применяется в доказательстве многих положений как теории множеств, так и анализа. Так, простейшие теоремы теории множеств, например:

объединение счетного числа не более чем счетных множеств само не более чем счетно, или:

всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество,

уже требуют применения аксиомы выбора. Что касается математического анализа, то Ф. А. Медведев, например, указывает в классическом курсе математического анализа Г. М. Фихтенгольца большое количество теорем, зависящих от аксиомы выбора, среди которых такие важные, как:

теорема о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах промежутка;

лемма БольцаноВейерштрасса о сходящейся подпоследовательности у ограниченной последовательности;

теорема Коши о конечных приращениях;

теорема Лопиталя о раскрытии неопределенностей и много других [278].

Аксиома выбора формулируется достаточно просто и логически кажется довольно естественным и не обещающим неожиданностей утверждением. Однако это впечатление обманчиво. С помощью аксиомы выбора строятся такие экстравагантные примеры, как множество Витали [279], неизмеримое, по Лебегу, или парадокс Банаха-Тарского. Дадим формулировку последнего: «Используя аксиому выбора, можно разбить шар на конечное число частей, которые можно переставить так, что получатся два шара такого же размера, как и исходный шар»[280]. То есть мы имеем в качестве следствий из аксиомы выбора такие положения, которые совершенно противоречат нашей интуиции пространства.

Вследствие, в частности, и такого рода парадоксов, основанных на аксиоме Цермело, «диапазон мнений математиков об этой аксиоме скандально широк», как пишет Ф. А. Медведев [281]. Д. Гиль­берт поддерживал использование аксиомы выбора в математике и считал, что она связана с фундаментальными логическими принципами математического мышления. А. Пуанкаре считал аксиому выбора одним из определяющих синтетических априорных суждений, которое невозможно доказать, но без которого трудно строить как конечную, так и бесконечную арифметику. Б. Рассел был более сдержан в оценке аксиомы: «Возможно, что она истинна, но это не очевидно, а ее следствия удивительны. При этих обстоятельствах мне кажется правильным воздержание от ее применений, за исключением тех рассуждений, которые дают надежду получить абсурд и таким образом дать отрицательное решение вопроса об истинности этой аксиомы»[282]. Русский математик Н. Н. Лу­зин резко отрицательно относился к использованию аксиомы выбора: «Применять свободный выбор  это значит, по моему мнению, жонглировать соединениями пустых слов, смыслу которых не соответствует никакой интуитивно доступный факт»; «Про­тив нее [против аксиомы выбора.  В.К.] говорит именно эта самая чрезвычайная легкость ее применения, немедленность даваемых ею ответов, так как математические сущности, сформированные при помощи ее, не крепки, не обладают устойчивостью, имея слишком расплывчатые, неопределенные свойства, чтобы практически служить затем точкой опоры для математических рассуждений, направленных уже на классические математические предметы. Напротив, образование математического предмета без аксиомы Цермело часто представляет чрезвычайные трудности, зато такой математический предмет, будучи построен, почти всегда имеет большую ценность для дальнейших изысканий»[283].

Благодаря работам Геделя (1939) и Коэна (1963) было установлено, что аксиома выбора не может быть ни доказана, ни опровергнута исходя из системы аксиом ЦермелоФренкеля теории множеств. Сложилось тем самым положение, напоминающее ситуацию с пятым постулатом Евклида в геометрии. И как для последней независимость пятого постулата от других аксиом позволяла строить неевклидовы геометрии, так и в случае с аксиомой выбора  в силу ее независимости  были сделаны попытки построения нецермеловских (неканторовских) теорий множеств (а на их основе  и всего здания математики) как без аксиомы выбора, так и с заменой ее на другую аксиому [284]. В качестве примера последнего приведем формулировку аксиомы, альтернативной цермеловской,  так называемой аксиомы детерминированности: «Каж­дое множество А бесконечных последовательностей натуральных чисел определяет следующую бесконечную игру GA двух игроков. Игрок I пишет натуральное число n0, игрок II отвечает тем, что пишет натуральное число n1, затем игрок I пишет n2, игрок II пишет n3, и т.д. Если получающаяся в результате игры последовательность n0, n1, n2, n3,... принадлежит множеству А, то выигравшим считается игрок I, в противном случае выигрывает игрок II. Игра GA называется детерминированной, если выигрывающую стратегию имеет либо игрок I, либо игрок II. Аксиома детерминированности утверждает, что для каждого такого множества последовательностей А игра GA является детерминированной [285]. Оказывается, с помощью полного упорядочивания множества всех последовательностей натуральных чисел можно построить игру, которая не будет детерминированной. Значит, аксиома детерминированности противоречит аксиоме выбора (все общем виде). Но, с другой стороны, аксиома детерминированности влечет аксиому выбора в счетном варианте, и поэтому основные теоремы теории действительных чисел не изменяются. В математике с аксиомой детерминированности каждое множество действительных чисел измеримо, по Лебегу, и либо не более чем счетно, либо имеет мощность континуума.

Тем самым споры вокруг аксиомы выбора привели к построению альтернативных канторовской теорий множеств. Сделать между ними выбор в пользу какой-то одной, «более естественной», не представляется возможным. Во всяком случае, изнутри математики... «Аргументированный выбор между аксиомой выбора и аксиомой детерминированности,  пишет Кановей,  возможен, вероятно, только путем сравнения красоты и богатства теорий, построенных на этих аксиомах, а также сравнения согласованности следствий АС [аксиомы выбора.  В.К.] и АД [аксиомы детерминированности.  В.К.] со складывающейся математической интуицией»[286].

§ 3. Парадоксы.
Шкала мощностей как «лестница на Небо»

Мы помним, сколь свободным понимал Кантор математическое творчество. Математика в своем развитии не связана никакими внешними условиями. Сущность математики  свобода. Един­ственное внутреннее требование к математическим конструкциям  быть логически непротиворечивыми. Математик может в своей работе не заботиться ни о прикладном значении его теорий, ни об общефилософском. Теория должна быть лишь логически состоятельной  это необходимо и достаточно для того, чтобы она вошла в корпус математического знания. Выше мы видели, что собственное «поведение» Кантора в науке, в математике, было парадоксальным образом прямо противоположное. Кантор все время в высшей степени обеспокоен согласованием выводов теории множеств с традициями естествознания, философии, богословия. Утверждение теории множеств как научной дисциплины, легализация ее новых,  уместно применить затертое, но здесь как раз адекватное слово  революционных методов рассуждений было связано с изменением самой философии науки, философии познания. Мы видели, как сознательно относился Кантор к этому «внеш­нему» аспекту теории множеств и сколько было потрачено усилий на утверждение теории множеств и в общефилософском контексте. И тем не менее пафос свободы математического знания был основным философским постулатом канторовского творчества. Математика в этом смысле должна рассчитывать только на саму себя, на собственные внутренние методы самоконтроля: прежде всего на доказательство чисто логической состоятельности своих понятий и теорий. Должна рассчитывать и вполне может осуществить это  считал создатель теории множеств.

На фоне этих представлений понятно, какой неприятностью были для Кантора возникшие на почве самой теории множеств так называемые парадоксы. В 1897 г. Бурали-Форти опубликовал первый из них. Речь в нем идет о множестве W всех порядковых чисел. Согласно конструкциям Кантора, это множество вполне упорядочено и, следовательно, оно должно иметь соответствующий порядковый тип b. Этот тип b должен быть больше, чем все типы, содержащиеся в W. Однако по условию W есть объединение всех порядковых типов, т.е. b тоже входит в W. И мы тем самым приходим к противоречию: b > b. Бурали-Форти делал из этого парадокса тот вывод, что канторовская теорема о сравнимости любых ординалов неверна. И тогда падало также утверждение и о сравнимости любых кардиналов (мощностей).

Еще более серьезным был парадокс Рассела, показывавший логические опасности, скрытые в наивном понимании множества. Анализируя канторовскую теорему о так называемом «множестве-степени»[287], Рассел выделил понятие «множества, которое не является элементом самого себя». Например, множество всех множеств не будет таким множеством, а множество натуральных чисел является множеством, не совпадающим ни с каким своим элементом. Если мы рассмотрим множество М всех множеств, не являющихся элементами самого себя, то мы не сможем ни отрицательно, ни утвердительно ответить на вопрос: будет ли оно само множеством того же типа, что и его элементы, т.е. множеством, не содержащим самого себя в качестве элемента. Если мы ответим утвердительно, отсюда следует, что М как содержащее все множества, не являющиеся собственным элементом, должно содержать и себя, что противоречит предположению. Если же мы ответим отрицательно, т.е. М не является множеством, не содержащим себя в качестве элемента, тогда, значит, М содержит себя в качестве своего элемента, но все элементы М суть множества, не содержащие себя в качестве своего элемента, т.е. мы опять получаем противоречие. На основании подобных размышлений Рассел сформулировал определение предикативных и непредикативных свойств множеств. Только первые могут действительно определять множества; использование же вторых ведет к парадоксам. Эти наблюдения воплотились в дальнейшем в так называемую теорию типов, которую Рассел развивал совместно с Уайтхедом.

Нас, однако, интересует здесь позиция самого Кантора. К 1899 г. он уже формулирует некое определение, чтобы уйти от парадоксов, связанных с, так сказать, «очень большими» множествами, вроде множества всех множеств и т.д. В переписке с Дедекиндом Кантор пишет: «Если мы исходим из понятия определенной множественности <Vielheit> (системы, совокупности) вещей, то мне представляется необходимым различать множественности двоякого рода (речь идет всегда об определенных множественностях). А именно, множественность может обладать тем свойством, что допущение "совместного бытия" всех ее элементов приводит к противоречию, так что эту множественность нельзя рассматривать как единство, как "некую завершенную вещь". Такие множественности я называю абсолютно бесконечными или неконсистентными множественностями. Как легко убедиться, "сово­куп­ность всего мыслимого", например, является подобной множественностью; далее появятся и другие примеры. Напротив, если совокупность элементов некоторой множественности можно без противоречия мыслить как совокупность "совместно существующих" элементов, так что возможно их объединение в "единую вещь", то я называю ее консистентной совокупностью или "множеством" < Menge> (на французском и итальянском языках это понятие подходяще выражается словами "ensemble" и "insieme")»[288]. Как видим, по сравнению с исходными понятиями теории множеств все становится уже много сложнее. Прежде всего различаются множество (Menge) и множественность (Vielheit). Если всякое множество есть одновременно и множественность, то обратное уже неверно. Проблема состоит в том, что исходно Кантор понимал трансфинитное множество как актуально бесконечное множество, мыслимое как целое, и считал это достаточно самоочевидным понятием. Теперь же, оказывается, что есть множественности, которые невозможно без противоречия мыслить как целое. Но как же отличить одно от другого? То, что некоторые множества уже в своем определении несут противоречие, например «совокупность всего мыслимого»[289], о которой говорит Кантор, или множество всех множеств, которые не являются собственным элементом, которые фигурируют в парадоксе Рассела,  это понятно, и на основании этого их можно, положим, исключить из рассмотрения в теории множеств. Однако как доказать про другие, так сказать, «обычные» и «легальные» актуально бесконечные множества, что их можно «без противоречия мыслить как совокупность совместно существующих элементов», что возможно их объединение в «единую вещь»?.. Кантор не дает на это ответа. А ведь это  принципиальный вопрос, лежащий в самом основании всей теории. Мы возвращаемся опять к самому ее фундаменту: а возможно ли вообще мыслить бесконечное как единую вещь? Существует ли хоть одна консистентная множественность?..

Дедекинд сразу почувствовал это и, вероятно [290], в своем письме спросил о положительном критерии консистентности. Кантор отвечал формально и неубедительно: «Можно поднять вопрос: откуда же я знаю, что вполне упорядоченные множественности или последовательности, которым я приписываю кардинальные числа

a0, a1, ... , aw0, ... , aw1, ...

действительно являются «множествами», в объясненном смысле этого слова, т.е. "консистентными множественностями"? Нельзя ли вообразить, что "неконсистентными" окажутся уже эти множественности и что противоречивость предположения о "совместном бытии всех их элементов" осталась еще незамеченной? Мой ответ на это состоит в том, что указанный вопрос относится и к конечным множественностям и что точное размышление приводит к такому результату: даже для конечных множественностей нельзя осуществить "доказательство" их "консистентности". Другими сло­вами, факт "консистентности" конечных множественностей является простой недоказуемой истиной  это "аксиома арифметики" (в старом смысле слова). Равным образом, "консистентность" множественностей, которым я приписываю алефы в качестве кардинальных чисел, является "аксиомой обобщенной трансфинитной арифметики"»[291]. Мы уже встречались с подобным ходом мысли создателя теории множеств, когда говорили об интуитивной представимости чисел (конечных и бесконечных). И здесь мы можем повторить наши прежние аргументы. Консистентность конечных чисел мы можем отчасти «доказать»: малых чисел  рассматривая материальные множества, соответствующего количества, больших чисел  моделируя их на компьютере. И в последнем случае сегодня открываются многообещающие перспективы. Однако доказать консистентность любого, даже самого малого, актуально бесконечного множества, имеющего мощность a0, не представляется никакой возможности. Принятие же этого существования за аксиому [292] сразу делает всю теорию в высшей степени формальной. Все становится зыбким и гадательным...

Эта зыбкая трясина произвольных предположений, связанных с понятием консистентности, чувствуется и еще в одном моменте. Кантор говорит: «Речь идет всегда об определенных множественностях» (см. наст. изд., с. 137). Но, как оказывается, такая «оп­ре­де­ленная множественность» может оказаться и неконсистентной. Например, «со­во­куп­ность всего мыслимого». Но можно ли неконсистентную множественность считать определенной? Можно ли считать определенной «совокупность всего мыслимого»?.. Кантор явно так считает. Неконсистентные множественности можно даже сравнивать между собой: «Две эквивалентные совокупности или обе являются "множествами", или обе "неконсистентны"»[293]. С некоторыми неконсистентными множественностями, может быть, и можно установить эквивалентности, но как, например, осуществить это с «совокупностью всего мыслимого»? То есть здесь также требуются какие-то дальнейшие условия и подразделения. Можно, конечно, опять поступить формально и ввести некоторую аксиому. Однако, вводя аксиомы в область столь «неопознанных объектов», мы рискуем получить противоречивую систему, противоречивость которой надо ведь тоже еще обнаружить и доказать...

Понятие неконсистентности нужно Кантору для положительных целей. А именно, система W всех ординальных чисел объявляется неконсистентной системой, т.е. ее нельзя рассматривать как единое целое. Иначе получается парадокс Бурали-Форти: если бы можно было рассматривать W как единое целое, то она имела бы порядковый тип d, откуда следовало бы, что d > d. Понятие неконсистентности спасает от парадокса Бурали-Форти и дает возможность существовать школе трансфинитных чисел W. Последняя должна для этого быть неконсистентной или абсолютно бесконечной множественностью, как называет ее по-другому Кантор. Аналогично обстоит дело и со шкалой мощностей (кардинальных чисел), или алефов. Последняя строится, исходя из шкалы W. Шкала эта есть последовательность порядковых типов вполне упорядоченных

 

Рис. 5

 

множеств. Некоторые «интервалы» этой шкалы представляют множества одной и той же мощности (см. рис. 5). Например, если w0 есть порядковый тип счетного множества чисел

N = { 0, 1, 2, ... , n, ... },

то ординальные типы

w0+1, w0+2, w0+3,..., 2×w0,..., n×w0, ...

все соответствуют множествам также счетным, т.е. имеющим мощностью все то же первое трансфинитное кардинальное число a0. Но существует первый порядковый тип w1, который соответствует множеству уже большей мощности a1. Все порядковые числа a такие, что

w0 £ a < w1,

Кантор обозначает Z(a0). Аналогично рассматривается класс Z(a1), порядковых чисел b, таких, что

w1 £ b < w2,

где w2  наименьшее порядковое число, которое соответствует множеству, кардинальное число которого отлично от a0 и a1. Это новое кардинальное число обозначаем через a2 и т.д. Получается канторовская шкала мощностей, шкала алефов:

a0, a1, ..., aw0, aw0+1, ... , aw1, ...

Кантор обозначает ее буквой t («тау»  последняя буква древнееврейского алфавита). Поскольку индексы всех алефов представляют собой все элементы шкалы W, то шкала алефов подобна (в смысле теории множеств) шкале W и так же, как последняя, представляет собой неконсистентную абсолютно бесконечную последовательность. Кантор задает вопрос: все ли кардинальные числа наличны в этой шкале? Или, другими словами, существует ли множество, мощность которого не является алефом? Ответ отрицательный в том смысле, что если взять множество V, которому не соответствует никакой алеф в качестве мощности, то тогда V должно быть неконсистентной множественностью. Кантор набрасывает и вариант доказательства, использующего неконсистентность W. Доказательство это, впрочем, неверно [294]. И главная слабость его  в смутности понятия неконсистентного множества.

Утверждение о том, что система алефов представляет все возможные мощности, необходимо Кантору для того, чтобы утверждать сравнимость любых мощностей. Ведь все алефы сравнимы между собой, и если все кардиналы исчерпаны рядом t, тогда можно утверждать, что для любых мощностей a и b имеет место только одно из трех соотношений:

a > b,

a < b,

a = b.

Впрочем, в другом письме к Дедекинду Кантор признается, что доказательство это «косвенное» и желательно было бы иметь более прямое [295], т.е. более конструктивное, связанное с конкретным построением соответствия элементов двух множеств.

Заключая рассуждение о шкалах W и t, Кантор пишет: «Все множества "перечислимы" <abzählbar> в некотом расширенном смысле, в частности, "перечислимы" все "континуумы"»[296]. Эту «пе­ре­числимость» можно понимать двояко. Во-первых, эти множества все, так сказать, «каталогизированы» согласно своим мощностям, и про любые два из них известно, какое из них «больше». И во-вто­рых, каждому кардиналу a соответствует целый класс Z(a) порядковых чисел, представляющих собой символы всех возможных упорядочений данного множества мощности a [297]. Другими словами, любое сколь угодно большое бесконечное множество может быть, так сказать, сложено из единиц с помощью трех канторовских принципов построения трансфинитных чисел: добавление единицы, взятие пределов и так называемого принципа ограничения [298]. В частности, так должно получаться и множество, представляющее континуум, поскольку его мощность также находится в числе алефов [299].

Итак, утверждая неконсистентность шкалы всех ординалов, Кантор получал и сравнимость всех мощностей, и доказательство континуум-гипотезы. Есть еще один аспект понятия неконсистентности, напрямую связанный с канторовскими философско-бого­слов­скими представлениями. На этот момент обращает внимание в своей книге о Канторе Дж. Даубен. Он задает вопрос: почему Кантора в отличие от других (например, Бурали-Форти) не пугала и не отталкивала неконсистентность W? Даубен обращает внимание на то, что канторовское представление об Абсолюте как бесконечности Бога и неконсистентность W обладают сходными чертами [300]. Говоря о божественной бесконечности, создатель теории множеств подчеркивал, что эта бесконечность неизменяема, ее нельзя ни увеличить, ни уменьшить. И следовательно, она математически неопределима [301]. Но также неопределима и шкала трансфинитных чисел: добавление к ней невозможно в силу ее неконсистентности, отнятие же любого конечного отрезка не изменяет мощности больших трансфинитных чисел. Сам Кантор видел в шкале трансфинитных чисел некоторый символ вечности и приводил строку из стихотворения швейцарского натуралиста и поэта XVIII в. Альбрехта фон Галера: «Я его (чудовищно огромное число) отнимаю, а ты (вечность) лежишь целая передо мной»[302]. Религиозно-мис­тические импликации были для Кантора устойчивым фоном его научной деятельности. Мы видели выше, что Кантор понимал свою профессиональную деятельность одновременно и как выполнение определенной религиозной миссии  донести до человечества истину о трансфинитных числах, содержащихся в Уме Бога. Даубен утверждает и нечто большее: «В конце концов, Кантор рассматривал трансфинитные числа как ведущие прямо к Абсолюту, к единственной «истинной бесконечности», величину которой невозможно ни увеличить, ни уменьшить, а только представить как абсолютный максимум, непостижимый в пределах человеческого понимания»[303]. Шкала трансфинитных чисел оказывается, в этом смысле, своеобразной лестницей [304] на Небо, лестницей, ведущей к самому Абсолюту...

Именно поэтому, считает Даубен, Кантора и не смущали появляющиеся парадоксы теории множеств. Ведь речь шла о божественной Истине, во всей полноте понятной только божественному Уму. Для человеческого же ума, пытающегося схватить эту божественную бесконечность, неизбежно было впадать в противоречия и антиномии...

Однако  спросим мы со своей стороны  как же быть тогда с основным канторовским критерием математики  логической непротиворечивостью? Если божественная Истина того порядка, что была открыта в теории множеств, неизбежно оборачивается для человеческого ума противоречием, тогда нужно или отказаться от непротиворечивости как необходимого момента нашего знания,  и тогда непонятно, как же конкретно мы будем строить науку,  или, может быть, отказаться от претензий на обладание этим знанием, неизбежно сопряженным с противоречиями, т.е. выбрать ту позицию, которая традиционно была господствующей в европейской науке и философии от их античного истока до XIX в. включительно. Но и в последнем случае остается вопрос о том, как проводить эту границу между человеческим и сверхчеловеческим в знании. Должна ли она проходить по разделу: конечное  бесконечное, или же в сферу доступного человеческому разуму должно входить и какое-то «не очень большое» бесконечное [305]? И если все-таки Кантор прав, в том смысле, что «к нашей конечной природе прилипло много от бесконечного»[306], то от чего зависит, «сколько прилипло»? Ведь сама история науки показывает, что для разных людей степень постижения бесконечности,  пусть, например, в форме теории множеств,  степень уверенности в адекватности этого знания, этого направления науки различны. Естественно напрашивающийся ответ на этот вопрос, в духе канторовского понимания религиозной стороны теории множеств, следующий. Поскольку постижение бесконечности есть постижение Божественной бесконечности, то оно есть, следовательно, познание Бога, приближение к Нему, вхождение в божественный Разум. Поэтому степень понимания есть степень близости к Богу. Именно степенью близости отдельного человеческого ума к Богу измеряется здесь возможность понимания.

Близость же человеческого ума к божественному Логосу понимается на Западе и на Востоке (т.е. в христианских культурах, генетически связанных с Византией) по-разному. На Востоке «вхож­дение в Разум Истины» рассматривается обычно как невозможное без глубокой духовной трансформации всего человека. Разум мыслится здесь не как отдельная способность, а как способность, существенно определенная уровнем духовной жизни человека, его верой. Поэтому высоты гнозиса доступны только нравственно чистым и благочестивым людям. Кантор же принадлежал к другой традиции. Из средневековой схоластики вырастает представление о самосущности человеческого разума, о его независимости от веры и духовной жизни. Согласно этому представлению, разум в богословии только используется, так же как он может использоваться и в секулярной науке; сам же он автономен от веры и сущностно не изменяем. Из этого представления об автономном разуме и рождается постепенно секулярная философия и наука.

Отзвуки этого ясно слышатся в канторовском пафосе свободы математики, независимости ее от других сфер познания и культуры. Что означает эта независимость? Она означает, что, вообще говоря, познание есть дело чисто цеховое, дело профессионалов и мастеров и не требует для себя всего человека, не зависит от духовной и нравственной жизни человека. Несмотря на множество канторовских рассуждений о зависимости науки от метафизики и теологии [307], тем не менее утверждение свободы математики было для Кантора очень неслучайным. Именно через математику он надеялся обрести наиболее глубинный гнозис. Ведь именно исходя из математики, из теории множеств дает он критику традиционного богословского понимания Библии [308]. Лицемерил ли Кантор в переписке с богословами, подтверждая зависимость науки от теологии? Конечно, нет. Но это были лишь убеждения ума, а наклонности сердца были глубже, сильнее и противоречивее...

Научное познание всегда символично. Наука работает не с самим предметом познания, а с его схемой, его символом. Не исключение здесь и математика. Об этом, как мы помним, говорил и сам Кантор [309]. Уже большие числа мы не способны «представить» непосредственно и вынуждены прибегать к разного рода символам. Таким символом является, например, запись числа в какой-то (на­при­мер, десятичной) системе счисления. Тем более трансфинитные канторовские числа есть лишь символы некоторых подразумеваемых реальностей: различных типов бесконечности. Символическое познание всегда неадекватно. Ведь мы берем в качестве знаков обычно нечто близкое и понятное нам и должны с помощью него выразить нечто иное, как правило, более отдаленное и сложное. В этом смысле канторовская полная шкала трансфинитных чисел W, эта «лестница на Небо», лестница от человеческого ума к божественному Логосу, представляет собой титаническую попытку чисто символически исчерпать бесконечность Абсолютного, бесконечность Бога. Выразить высшее через низшее...

Трудно все-таки представить, что Кантор, занимаясь построением своей математической теории, действительно претендовал на адекватное познание Божества (пусть и, так сказать, одностороннее или, если угодно, «количественное»). Однако сохранившиеся документы говорят именно об этом. Так, освободившись в очередной раз из психиатрической клиники в Галле в 1908 г., Кантор написал письмо своему английскому корреспонденту математику Г. Ч. Янгу. В этом письме он говорит, в частности, о невозможности существования некоего высшего трансфинитного числа, «Ge­nus supremum»[310], точнее, о совершенно особом способе его существования: «Я никогда не исходил из какого-либо "Genus su­pre­mum" актуальной бесконечности. Совсем наоборот, я строго доказал абсолютное несуществование "Genus supremum" для актуальной бесконечности. То, что превосходит все конечное и трансфинитное, не есть "Genus"; это есть единственное, в высшей степени индивидуальное единство, в которое включено все, которое включает "Аб­со­лют­ное", непостижимое для человеческого понимания. Это есть "Ac­tus Purissimus"[311], которое многими называется Богом»[312]. Шкала возрастающих трансфинитных чисел, как считал Кантор, как раз и ведет к этому Actus Purissimus, Высшему Бытию, на «профанном» языке называемому Богом [313]...

Вместе с тем потерпела крушение одна из исходных интенций теории множеств. Кантор с самого начала стремился преодолеть потенциальность, «дурную бесконечность» потенциальной бесконечности, стремился утвердить рассмотрение бесконечного как актуальной данности. Но в конце концов это оказалось в принципе невозможным... «Теория множеств,  пишет чешский математик П. Вопенка,  усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалась неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить ее в более высокую сферу»[314].


Глава VI

Личностные особенности и религиозные взгляды Кантора

§ 1. Происхождение, личностные особенности, болезнь

Становление теории множеств, ее отнюдь не безболезненное вхождение в математический обиход представляют собой типичный пример научной революции. Я хочу этим сказать, что внедрение теории множеств в математику конца XIX  начала XX вв. представляло собой определенный переворот в представлениях ученых, потребовавший от них не просто усвоения конструкции, техники новой теории, а пересмотра многих казавшихся такими очевидными старых понятий: числа, доказательства, норм строгости, природы аксиом, природы математического знания вообще. Некоторых это напугало. Многие от этого отмахивались, желая заниматься «только математикой, а не философией». Вокруг новой теории сразу же создалась атмосфера скандала. Требовалась недюжинная энергия, настойчивость и пламенная вера в свое дело, чтобы утвердить теорию множеств как легальную математическую теорию. Во многом мы обязаны этим самому ее создателю. Именно поэтому личность Георга Кантора привлекает постоянно к себе внимание историков и философов науки. Эту предпоследнюю главу мы в свою очередь также посвятим обсуждению некоторых личностных особенностей создателя теории множеств, отразившихся и в истории ее генезиса, и даже, отчасти, в самом ее содержании.

Георг Кантор родился в 1845 г. в Санкт-Петербурге в семье предприимчивого торговца Георга Вольдемара Кантора и Марии Анны Бем. Семья Канторов происходила, по всей вероятности, из переселенцев из Испании (или Португалии). Родители Георга Вольдемара жили сначала в Дании, а в начале XIX столетия переселились в Россию. В 1834 г. Георг Вольдемар зарегистрировал собственную фирму «Кантор и Со», которая по неясным причинам к 1838 г. прогорела. Георг Вольдемар работал долгое время брокером на Санкт-Петербургской бирже, а в 1856 г. перебрался с семьей в Германию. Несмотря на все перипетии своей предпринимательской карьеры, Георг Вольдемар оставил семье после смерти значительную по тому времени сумму денег (около полумиллиона марок). В семье Георга Вольдемара было четверо детей, из которых Георг был старшим. Мать Мария Анна Бем происходила из традиционной семьи музыкантов, в частности, ее брат Иозеф Бем был директором Венской консерватории. Георг Вольдемар Кантор был крещен в лютеранской церкви, Анна Мария была католичкой.

Георг Кантор учился в Берлинском университете, где посещал лекции известных математиков того времени К. Вей­ер­штрас­са, Э. Куммера, Л. Кронекера. Под влиянием последних Кантор написал и защитил свою диссертацию и квалификационную работу по проблемам теории чисел. С 1869 г. Кантор постоянно работал в университете города Галле: приват-доцентом, внештатным профессором и, наконец, с 1879 г. профессором. В 1874 г. Кантор женился на Валли Гутман, с которой он имел шестерых детей.

Определяющее влияние на Георга Кантора оказал его отец Георг Вольдемар. Будучи сам глубоко религиозной натурой, он старался воспитать и детей в сознании, что жизнь человеческая зависит прежде всего от его отношений с Богом. Почти каждое письмо отца к юноше Георгу в годы учения наполнено религиозным пафосом. Особенно замечательно в этом отношении письмо к сыну, написанное по поводу конфирмации Георга Кантора. Ввиду значительности этого документа, характеризующего духовную атмосферу, в которой формировался будущий создатель теории множеств, я привожу его полностью:

«Мой дорогой Георг:

Милостью Всемогущего, Творца Вселенной и Отца всех живых тварей, да окажет этот день благодатное влияние на всю твою будущую жизнь. Да будут постоянно и неизменно перед твоим взором те благородные решения, которые ты, без сомнения, принял сегодня в молчании, как некий торжественный обет!.. Будущее жизни и судьба индивидуума лежат скрытыми от нас в самой глубокой тьме. И хорошо, что это так. Никто не знает заранее, в какие невероятно трудные условия и жизненные обстоятельства он может попасть, против каких непредусмотренных и не могущих быть предусмотренными бедствий и трудностей он должен будет бороться в различных жизненных ситуациях.

Как часто наиболее многообещающие индивидуальности были повергнуты в результате немощного, слабого сопротивления в первой же серьезной схватке, связанной с их вхождением в практическую жизнь. Потеряв мужество, они были после этого полностью истощены, и даже в лучшем случае они превратились лишь в так называемых поверженных гениев!.. В действительности отнюдь нередко молодые люди приходят к подобному концу, даже те, которые, по всей видимости, были наделены наиболее обещающими качествами ума и тела и чьи виды на будущее, благодаря способностям и фамильным связям, были в юности также самыми розовыми!

Но им недоставало того твердого ядра, от которого все зависит. Теперь, мой дорогой сын! Верь мне, твоему самому искреннему, истинному и самому опытному другу  это твердое ядро, которое должно жить в нас, есть истинный религиозный дух. Он открывает себя нам через искреннее, смиренное чувство благодарнейшего почтения к Богу, из которого произрастает также победная, неколебимая, твердая вера в Бога и которое сохраняет и утверждает нас на протяжении всей нашей жизни в этом молчаливом и несомненном общении с нашим небесным Отцом!..

Но для того, чтобы предупредить также все другие несчастья и трудности, которые неизбежно поднимаются против нас в нашем страстном стремлении к успеху в собственной специальности или бизнесе, по причине зависти и клеветы явных или скрытых врагов, для того, чтобы с успехом сокрушить их, необходимо прежде всего получить и усвоить как можно большее количество наиболее фундаментальных разнообразных технических знаний и навыков. В наше время они абсолютно необходимы, если усердный и честолюбивый муж не желает видеть себя оттесненным своими врагами и вынужденным стоять во втором и третьем ряду.

Для обеспечения различных, исчерпывающих научных и практических знаний; для совершенного усвоения иностранных языков и литератур; для многостороннего развития ума во многих гуманитарных дисциплинах  и здесь ты всегда должен быть полностью сознательным!  для всего этого предназначен второй период твоей жизни, твоя юность, начинающаяся как раз сейчас, для того чтобы прежде всего экипировать себя посредством всего этого достоинствами, необходимыми для схваток, которые еще должны прийти. Все, что упущено в этот период или растрачено через скороспелое расточение своей лучшей силы, здоровья и времени, будет, так сказать, промотано, то есть невосполнимо и незаменимо потеряно навеки; так же как и невинность, однажды потерянная, потеряна на веки вечные и невосполнимо...

Я заключаю следующими словами: твой отец или, скорее, твои родители и все другие члены семьи, как в Германии, так и в России и Дании, смотрят на тебя как на самого старшего и ожидают, что ты станешь никак не меньше, чем какой-нибудь Теодор Шеффер [315], и, даст Бог, станешь, может быть, позднее звездой, сияющей на горизонте науки.

Да даст тебе Бог силу, настойчивость, здоровье, твердый характер и Свои лучшие благословения! А ты поэтому должен ходить только Его путями. Аминь!

Твой отец»[316].

Письмо трогает своей любовью, глубокой озабоченностью судьбой сына и искренней религиозностью. Некоторые строки, как справедливо отмечает Даубен [317], носят прямо-таки пророческий характер... Две главные темы выделяются в наставлениях отца: религиозное чувство как центр («твердое ядро») жизни личности и борьба за успех. Причем успешность последней определяется, в главном, первым. Вера и благоговение перед Богом должны быть безусловными  таков постулат, вытекающий из глубокого жизненного опыта Георга Вольдемара. Однако успех и карьера невозможны без большого количества технических знаний, приобретение которых дается настойчивым трудом на заре жизни. Итак, вера и настойчивая борьба за успех... В письме нет темы истины... Она как бы подменена успехом. В чем, впрочем, есть своя скрытая логика, традиционная для протестантской культуры: ведь успех зависит от Бога, как и истина, поэтому успех косвенно свидетельствует и об истине...

Наставления Георга Вольдемара не пропали даром. В душе Георга Кантора на всю жизнь было посеяно семя глубокой веры, привит определенный вкус к мистической жизни. У Георга Воль­де­мара были хорошие отношения со своим старшим сыном, и последний стремился принимать важные решения, только согласовав их с отцом. Два года, проведенные Георгом Кантором в Высшем реальном училище Дармштадта, были обусловлены, конечно, влиянием отца и его надеждами на карьеру сына в качестве инженера. Но в 1862 г. Кантор принимает важное самостоятельное решение: сделать математику своей главной специальностью. Отец поддержал сына. Молодой Георг Кантор был очень благодарен ему за это:

«Мой дорогой папа! Ты можешь представить, как сильно твое письмо порадовало меня; оно определяет мое будущее. Последние дни я пребывал в сомнении и нерешительности; я никак не мог прийти к какому-нибудь решению. Долг и склонность постоянно боролись во мне. Теперь же я счастлив, когда вижу, что ты больше не огорчаешься, что в своем выборе я следую своему чувству. Я надеюсь, что еще принесу тебе радость, дорогой отец, потому что моя душа, все мое "я" живет в моем призвании; то, что человек хочет и способен совершить и к чему его зовет неизвестный, таинственный голос, он осуществит это!..»[318] Это внимание к «внут­рен­нему голосу», к глубинным пророческим движениям души было не просто метафорой. Позже мы увидим в биографии Кантора поразительно конкретные воплощения этого внутреннего голоса... Это обостренное внимание к внутренней жизни души было знаком религиозной пробужденности, которой Кантор во многом был обязан наставлениям своего отца.

Другой важный момент, который акцентировал Георг Воль­де­мар,  настойчивое стремление к успеху также было отличительной чертой характера Георга Кантора. Мы уже говорили, что вхождение теории множеств в математику во многом было обязано именно настойчивости и бойцовским качествам Кантора. В особенности трудно было Кантору бороться с сопротивлением признанных мэтров математики, прежде всего Кронекера. Парадоксально, но здесь Кантору нередко помогала одна его характерная, отмечаемая многими исследователями отрицательная черта: возражения против своей теории он воспринимал как «лич­ные выпады», обусловленные завистью и недоброжелательностью. А поскольку так, то, вообще говоря, всегда как бы оставалась возможность «до­го­вориться», «снять напряжение»... Поэтому даже в случае с Кронекером, где основой противостояния, несмотря на сопутствующие личные обиды, была именно разница самих пониманий природы математики, Кантор настойчиво пытался убедить своего бывшего учителя в научной легальности теории множеств. 18 августа 1884 г. Кантор обратился к Кронекеру с письмом, где пытался найти почву для научного примирения. Мы уже обсуждали выше ответ Кронекера [319]: вежливый, но вполне определенный по своей позиции. Вспомним главные моменты последней. Кронекер подчеркивал, что речь идет отнюдь не о личных амбициях, а о понимании природы математики. Чистая математика должна утверждаться на твердом основании целых чисел, спекуляции, связанные с актуальной бесконечностью, понижают нормы строгости в математике, ведут в «болото» произвольных предположений и, что еще хуже, вовлекают математику в бесплодные философские дискуссии. Научную значимость имеют только конкретные математические истины, грубо говоря, только математические формулы, писал Кронекер [320]. «А в Вашей теории, как бы говорил скрытый за вежливой формой письма подтекст,  нет этих конкретных результатов, а есть только мутные философско-математические рассуждения!..» Высказанный взгляд на математику есть только моя вера, подчеркивал Кронекер, но все содержание письма показывало, что эта вера была зрелым плодом богатого, долголетнего профессионального опыта математика. И вот в ответ на это «ис­по­ве­да­ние» научно-философской «веры» Кантор в ответном письме опять начинал объяснения своих конкретных теоретико-мно­жест­вен­ных построений: «Я думаю, что большая часть того, чем я был занят в научном отношении в последние годы, и что я понимаю под учением о множествах, отнюдь не столь сильно, как Вы, вероятно, думаете, противостоит тем требованиям, которые Вы выставляете перед «конкретной» математикой...»[321] И после долгих, явно обреченных на то, чтобы не быть услышанными, рассуждений Кантор заканчивает неуклюже и навязчиво: «Я был бы рад иметь возможность подробно Вам все это представить, так как я убежден, что после этого конкретная математическая сторона предмета не ускользнула бы от Вас. Это было бы мне тем более желательно, поскольку я вижу в этой области множество еще не решенных вопросов, для ответа на которые, по моему мнению, не обойтись без Вашего математического таланта»[322].

Кантор дал Кронекеру кличку «господин фон Мере», намекая на известного в XVII в. игрока шевалье де Мере, который оспаривал математические оценки вероятностей, связанных с игрою в кости («парадокс де Мере») [323]. Насколько «по-боевому» был настроен Кантор в противостоянии с Кронекером, показывает среди других его письмо от 2 января 1885 г. в связи с подготавливаемым в Берлине праздником в честь математика К. Вейерштрасса: «От фрау Ковалевски я получил вчера ответ... Она, по всей видимости, очень боится, что с этим делом празднованием юбилея Вейерштрасса.  В.К.] могут быть связаны споры о немецких математиках; этот страх безоснователен; я ответил ей успокаивающим образом. Дело состоит, собственно, в том, что к нашему господину фон Мере я не слишком привязан, и что без нужды я не занимаюсь всякими мелочами, и что он, со своей стороны, опасается вступить со мной в открытый спор, потому что он знает, что я при малейшей возможности выступлю с тяжелейшими орудиями и поражу его вибрирующей стрелой в самое сердце; поэтому для него выгоднее в темноте, подобно некоему кроту, так же, как Вейерштрассу, его почитателям и ученикам, подрывать и мои позиции, и учение о множествах»[324].

Стремление к успеху сказывалось также и в желании доминировать в обществе, что отмечают в своих воспоминаниях многие коллеги Кантора. Следуя советам отца, Кантор еще с юности старался познакомиться со многими вопросами гуманитарной культуры, что давало ему возможность свободного общения в обществе. «Более всего любил он,  пишет о Канторе Даубен,  видеть себя окруженным группой слушателей, и он наслаждался, ведя дискуссии по самому разному кругу вопросов, и прерывал их время от времени широковещательными декларациями»[325].

Кантор в высшей степени верил в свою «математическую звезду», в ведущий его внутренний голос. Мы видели выше, что он понимал свою математическую деятельность как некую миссию, врученную ему Высшей Силой. Поэтому ничто: ни сопротивления научного сообщества, ни тысячелетние традиции науки  не могли остановить его. Этот революционный напор чувствуется у Кантора почти везде. Достаточно вспомнить еще раз его цитату о континууме. Кантор хотел непременно представить континуум как множество, т. е. как совокупность точек. Но господствующая традиция понимала его иначе, как некую целостность. Кантор видел в этом ретроградство и малодушие: «Здесь мы видим средневеково-схоластическое происхождение воззрения, защищаемого еще и в настоящее время, согласно которому континуум представляет собой некоторое неразложимое понятие или же, как выражаются другие, чисто априорное созерцание, которое вряд ли было бы доступным определению при помощи понятий. Всякая арифметическая попытка определения этой тайны рассматривается как незаконное посягательство и с соответствующей энергией отвергается. Робкие натуры испытывают при этом впечатление, как если бы в вопросе о континууме речь шла не о математико-логическом понятии, а о каком-то религиозном догмате»[326]. Сегодня мы знаем, что с континуумом все действительно оказалось сложнее... Кантор же твердо надеялся на то, что теоретико-множественная техника позволит представить континуум, как «сложенный» из точек.

Если же Кантор защищал какое-то положение, то убедить его в обратном было почти невозможно. «Ожесточенная защита того, что он однажды посчитал верным, была столь же характерной чертой Кантора, как и та основательность, с которой он стремился проводить свои исследования»,  пишут биографы создателя теории множеств [327]. Критику теории множеств Кантор во многом воспринимал как заговор, направленный лично против него. Это чувство преследования и заговора было постоянной составляющей канторовского мироощущения. Здесь любопытен эпизод, известный из письма математика Г. Шварца. В 1888 г. К. Вейерштрасс во время каникул пригласил к себе друзей, среди которых были математики Г. Миттаг-Лефлер, С. Ковалевская, Г. Шварц, Г. Хет­тнер и Г. Кантор. Само присутствие Шварца, которого Кантор счи­тал одним из своих противников, было уже раздражающим фактором. Неожиданно посреди общего разговора, без всякого предупреждения, Кантор разразился яростной речью, клеймя виновников того, что в 1885 г. университетский пост в Геттингене достался Феликсу Клейну, а не ему, Георгу Кантору. Вот как пишет об этом событии Дж. Даубен: «Канторовское негодование по поводу предмета, происшедшего три года назад, показывает, как глубоко был он обижен отказом немецких математиков признать его работу и предоставить ему место в одном из высших математических центров. Шварц был частью предполагаемого заговора, имевшего целью изолировать Кантора в Галле и обречь его работы на забвение. Как же еще, спрашивал он, можно было объяснить тот факт, что его квалификация как математика была не замечена, а преимущество было отдано кандидатам очевидно меньших способностей? В этом положении озлобленность, которую Кантор носил в себе, не ослаблялась ходом времени, и неожиданное переживание, обусловленное неприятным соседством, приводило к быстрой и сильной вспышке, которая, как осознали его коллеги, была типичной для его поведения. В поздние годы подобные состояния неустойчивости обычно сменялись более длинными и более серьезными периодами депрессии»[328]. Речь шла о развитии глубокой психической болезни. Со временем настойчивость и нетерпение Кантора становятся действительно болезненно обостренными. 1899 г. был для него одним из самых тяжелых. Кантор был изнурен попытками преодолеть антиномии теории множеств, решить континуум-ги­по­те­зу. В этом же году умер младший брат Кантора Константин. Из-за приступа болезни и госпитализации в психиатрической клинике Кантору пришлось отказаться от чтения лекций. В ноябре месяце Кантор пишет два письма в министерство образования, выражая желание отказаться от профессорской должности. При условии сохранения содержания он готов был довольствоваться и должностью библиотекаря. Кантор говорит о своих разносторонних знаниях, пишет о том, что много занимался вопросами литературы и истории, в частности тайных обществ XVI–XVIII вв., упоминает о своих публикациях по так называемой «бэконовской гипотезе» в шекспироведении. В конце первого письма Кантор интригующе заявляет, что располагает такими историческими сведениями о первом британском короле, что, будь они опубликованы, «анг­лий­ское правительство было бы, несомненно, повергнуто в состояние отрезвляющего страха»[329]. Второе письмо заканчивается нетерпеливой просьбой решить вопрос в течение двух (!) дней. В противном случае Кантор, как бывший гражданин Российской Империи, намерен обратиться в представительство России в Берлине с предложением своих дипломатических услуг [330]. Никакого ответа на эти запросы Кантора, по-видимому, не последовало.

* * *

Попытки Кантора утвердиться в других, гуманитарных областях науки и университетского преподавания все были безуспешными. К 1885 г. Кантор имел уже очень мало надежд найти взаимопонимание с коллегами-математиками. В особенности тяжелым ударом был для него отзыв статьи из журнала Миттаг-Лефлера «Acta Mathematica» в начале 1885 г. (см. об этом выше). Кантор пытается начать преподавать философию. Об этой истории рассказывает со слов своего друга математика Энестрема Софья Ковалевская (в письме к Миттаг-Лефлеру): «Энестрем вернулся в Хель­сингфорс несколько дней назад и вчера был у меня... Энестрем посетил также Кантора. Последний начал в предыдущем семестре лекции по философии Лейбница. Вначале к нему пришло 25 студентов, но мало-помалу количество их таяло, сначала до 4, потом до 3, потом до 2 и, наконец, до одного-единственного студента. Кантор тем не менее держался и продолжал лекции. Но, увы!
В один прекрасный день последний из могикан явился чем-то расстроенный, очень благодарил профессора, но объяснил, что у него так много дел, что он никак не сможет больше посещать лекции. Тогда Кантор, к несказанной радости своей жены, дал торжественное обещание никогда больше не читать лекции по философии!»[331]

С 1884–1885 г. Кантор занимается «бэконовской гипотезой» в шекспироведении. Кто первый был ее автором, исследователи затрудняются утверждать. Во всяком случае, уже с 1848 г. появляются публикации, содержащие ее изложение. В Германии она становится широко известной с 80-х годов XIX в. Гипотеза состоит, собственно, в том, что за всеми (или некоторыми) произведениями Шекспира отрицается авторство В. Шекспира, человека незначительного, а может быть, и просто вымышленного. Произведения Шекспира были написаны на самом деле знаменитым философом Ф. Бэконом, который по особым причинам своей бурной политической биографии должен был скрывать авторство. В других вариантах этой гипотезы Ф. Бэкон заменяется другими знаменитыми фигурами XVII столетия: Энтони Бэконом, графом Эссекса, ёрлом Саузхэмптона, графом Рутландии Томасом Уолси и др. Этой гипотезе, между прочим, отдали должное в свое время Л. Толстой, Дж. Б. Шоу, М. Твен.

В 1896 г. Кантор издал свое сочинение «Resurrectio divi Qui­ri­ni Francisci Baconi...», посвященное доказательству «бэко­нов­ской гипотезы». Суть этого доказательства состоит вкратце [332] в следующем. В одном из стихотворений, написанных на смерть Ф. Бэкона в XVII столетии, последний сравнивается с копьеносцем, по латыни  Quirinus. Кантор считает, что тем самым в стихотворении зашифровано имя Шекспира, т. к. латинское Quirinus можно передать по-английски, как Spear-Swinger или Shaker = Shakespeare.

Немецкое Шекспировское общество не сочло подобное доказательство убедительным и в том же 1896 г. вообще постановило не рассматривать более «бэконовскую гипотезу». Кантор, следуя своей обычной манере, не скупился на резкие высказывания в адрес Общества. Исследователи не считают невозможным даже, что где-то к 1899 г. Кантор мог быть исключен из членов Шекспировского общества [333].

Как бы то ни было, в 1900 г. Кантор опять выступил с публикацией по шекспировскому вопросу, где утверждал уже, что, вероятно, и сам Ф. Бэкон был такой же «фигурой прикрытия», какой раньше считался В. Шекспир... Кантор собрал большую библиотеку ценных книжных раритетов, содержащую первые издания Бэкона и Шекспира. Желая популяризовать «бэконовскую гипотезу», Кантор давал публичные лекции на эту тему. Математик Г. Ковалевски посетил подобную лекцию в Лейпциге. Вот как он описывает свои впечатления: «Кантор всегда брал с собой уйму литературы, целую бельевую корзину... Так как в действительности он не владел английским, то допускал в английских цитатах такое самодельное произношение, что это звучало довольно странно. Как всем одержимым подобной идеей, ему казалось, что его преследуют различные люди, которые, как он считал, боялись его аргументов. До такой степени он был убежден в своем мнении, что его утверждения имеют значение для мировой политики и что именно поэтому ему хотят зажать рот»[334].

Кантор пытался поднять также и другие «проблемы авторства», доказывая, например, идентичность Герлицера Шумахера и знаменитого немецкого философа и теософа Якова Беме. На эту тему он сделал, в частности, доклад в своем университете в Галле в 1900 г. Кантор занимался, кроме того, историей тайного общества розенкрейцеров, которое он считал силой, существенно повлиявшей на мировую политику и историю в XVI и XVII веках. Впрочем, В. Пуркерт и Г. Илгаудс, из книги которых я цитировал многие факты, связанные с канторовским вариантом «бэконовской гипотезы», считают, что эти исторические штудии Кантора носили достаточно болезненный характер. Эти же авторы выделяют в канторовских занятиях по вопросу об истинном авторстве и любопытную тенденцию, которую они считают «реакционной»: «Она состоит в утверждении, что простой человек из народа не способен на такие значительные духовные достижения [как, например, драмы Шекспира или теософия Беме.  В.К.[335]. Другими словами, Кантор считал, что гении возникают, так сказать, «не на пустом месте», а всегда связаны с определенными историческими традициями, как духовными, так и генетическими...

В отношении психической болезни Кантора было принято счи­тать, что ее причиной являются в основном трудности, связанные со становлением теории множеств, как объективного характера  трудности решения самих математических проблем, так и субъективного  особенности личного восприятия своих неудач Кантором.

Однако анализ сохранившихся записей в Психиатрической лечебнице в Галле подтверждает, скорее, последнее. И. Граттан-Гин­нес, занимавшийся этим в 60-х годах, пишет: «Все приступы начинались неожиданно, обычно осенью, и представляли собой различные фазы возбуждения и экзальтации; они оканчивались также неожиданно следующей весной или летом, и за ними иногда следовал период, который мы сегодня называем депрессивной фазой. Во времена Кантора это рассматривалось как исцеление, и его обычно отсылали домой, где он часами сидел в молчании и без каких-либо признаков эмоций»[336]. В результате консультаций с врачами-психиатрами Граттан-Гиннес приходит к выводу, что причины болезни Кантора были, скорее, внутреннего характера: «Бо­лезнь Кантора исходно носила эндогенный характер и, вероятно, являла собой некоторые формы маниакальной депрессии: экзогенные факторы, такие, как трудности в его исследованиях и столкновения в Университете в Галле, по всей вероятности, играли малую роль в генезисе приступов, много меньшую, чем хлопок, вызывающий лавину. Таким образом, он страдал бы от приступов, даже если бы он стремился к обычной обывательской карьере»[337].

Последний раз Кантор был помещен в клинику в Галле 11 мая 1917 г. Он постоянно просил семью забрать его домой, но его так и не отпустили. Смерть наступила 6 января 1918 г., вероятно, от сердечной недостаточности.

§ 2. Теология Кантора

В заключение я хочу обсудить теологические представления Кантора. Не роль теологических представлений в генезисе теории множеств, это уже было сделано выше, а сами по себе представления Кантора о Боге и Его отношении к творению. Конечно, роль теории множеств была здесь весьма значительной. Хотя Кантор уже и по своей духовной конституции, и по воспитанию был глубоко религиозной натурой, тем не менее теория множеств также сыграла здесь свою определенную роль. Она ставила массу предельных вопросов, затрагивавших представление об Абсолютном, и, как научная теория, требовала на них рациональных ответов. Теория множеств как бы подталкивала к теологии. По взглядам Кантора, как мы видели выше, и сама математика выходила, вообще говоря, за пределы науки, являясь уже определенным родом метафизики. Более того, теория множеств рассматривалась Кантором как своеобразная теофания. «Трансфинитное, пишет Кантор, со всем изобилием его форм и образов необходимо указывает на Абсолютное, на «истинное бесконечное», величина которого недоступна ни увеличению, ни уменьшению и которое в количественном отношении нужно рассматривать как абсолютный максимум. Последнее в известной степени превосходит человеческое разумение и недоступно, в частности, математическому определению. Наоборот, трансфинитное не только заполняет обширную область возможного в познании Бога [!!! В.К.], но и предоставляет богатое, непрерывно растущее поприще для идеального исследования, и, по моему мнению, оно до некоторой степени и в различных отношениях к действительности и существованию реализуется также и в сотворенном мире, чтобы выразить величие Творца по его свободному волеизъявлению ярче, чем это могло бы произойти в просто "конечном мире". Но этому убеждению еще придется долго ждать до всеобщего признания, в особенности со стороны теологов, сколь ни полезным оно могло бы оказаться для успехов защищаемого ими дела (религии) [выделено полужирным мной. В.К.[338].

Хотя теологи, как говорится, и «не видели своего счастья» в перспективах, открываемых теорией множеств, однако они очень хорошо разглядели возможности пантеистических интерпретаций, вырастающих из канторовских теологических рассуждений. Об этом мы говорили выше [339]. Кроме того, здесь хочется сделать замечание по поводу того, чт)о ярче выражает величие Творца: конечный или бесконечный мир. Здесь есть два подхода, с христианской точки зрения отнюдь не равноценных. Первый  космологический. Если бы Бог манифестировал себя только в творении, то тогда, конечно, наличие актуальной бесконечности в творении, «бес­ко­нечный мир» более бы выражали величие Бога, чем мир конечный. Однако в христианстве есть еще одно измерение богочеловеческих отношений  история, точнее: сотериология. Причем это измерение и исторически и логически всегда было для христианства более первичным. При этом подходе центральным фактом становится Боговоплощение (и следующее за ним Искупление). С этой же точки зрения Боговоплощение как воплощение «Не­вмес­ти­мого», бесконечного Бога в конечном мире, более того, в «ску­дель­ный сосуд» хрупкого человеческого существа, подверженного всем опасностям земной жизни, представляет собой гораздо более яркое выражение глубинной природы Божества. Ибо этим открывается нам не просто бесконечное могущество божественной Силы, но и бесконечное смирение божественной Любви к человеку, так как воплощение это предпринято было ради нашего спасения. Согласно христианским представлениям, в Вознесении Иисуса Христа человеческая конечная природа была вознесена «на небо» и вместе со Христом утверждена «одесную Бога Отца». Этому интенсивному пониманию бесконечности как божественной любви, спасающей, внутренне преображающей и обоживающей конечное тварное, христианство исходно отдавало предпочтение. Эта радость и изумления о бесконечной любви бесконечной Силы к хрупкому, конечному человеческому существу слышится и в кондаке праздника Рождества Христова:

Дева днесь Пресущественного раждает,

И земля вертеп Неприступному приносит...

Нас бо ради родися Отроча младо,

Превечный Бог.

Конечность твари с этой сотериологической точки зрения парадоксальным образом наполняет чудо Воплощения и Искупления гораздо большим онтологическим и нравственным смыслом.

Кантор же шел путем чисто спекулятивного, головного богословия, где априори понижены нравственные энергии, где Божество стремятся понять больше умом, чем сердцем... Кантор считал, как мы знаем, что «каждое расширение нашего воззрения в области тварно возможного должно вести к некоему расширенному богопознанию»[340]. Поэтому, будучи, так сказать, специалистом по бесконечности, он стремился предостеречь церковь против неправильных, как он считал, взглядов в этом вопросе, а то и дать новые интерпретации классических фрагментов Библии, как мы видели это выше [341]. В своей переписке с католическими теологами Кантор постоянно подчеркивает свою лояльность католическому учению и желание только улучшить и дополнить доктрину представлениями о бесконечном. Так, в письме к патеру Игнатию Джейлеру от 27 октября 1895 г. Кантор пишет: «Меня очень радует, как можно видеть из Вашего дружеского послания от 20 октября, что Ваши возражения против «трансфинитного» теперь уже исчезли. Но при случае я хотел бы написать и послать Вам небольшую статью, в которой я в схоластической форме хотел бы детально показать, как мои результаты можно защитить против известных возражений, и, прежде всего, как благодаря моей системе основания христианской философии во всем существенном остаются не только неизменными и непоколебленными, но скорее более укрепленными, и как это даже может способствовать их развитию в различных направлениях. На фоне существующих нападений слева и справа доказательство плодотворности и способности к развитию "phi­losophia perennis"